ユークリッド空間の完備部分集合
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がコーシー列であることとは、ある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなることを意味しますが、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数です。コーシー列の収束定理より、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)がコーシー列であることと、その点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に収束することは必要十分です。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の要素を項として持つコーシー列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選びます。コーシー列は収束するため、このコーシー列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束しますが、その極限が\(A\)の要素である場合と\(A\)の要素ではない場合の両方が起こり得ます。
まずは、集合\(A\)上のコーシー列の極限が\(A\)の要素である事例を挙げます。
例（完備な部分集合）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上の要素を項として持つ点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( 1-\frac{1}{v},1-\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{equation*}であるものとします。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす\(p,q\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) &=&\left\Vert
\boldsymbol{x}_{p}-\boldsymbol{x}_{q}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( 1-\frac{1}{p},1-\frac{1}{p^{2}}\right) -\left( 1-\frac{1}{q},1-\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{q}-\frac{1}{p},\frac{1}{q^{2}}-\frac{1}{p^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) -\left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) \right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert
+\left\Vert \left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) \right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert
+\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert \quad
\because p,q\geq N \\
&=&2\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすほど十分大きい\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす\(p,q\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) &<&2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)はコーシー列です。さらに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( 1-\frac{1}{v},1-\frac{1}{v^{2}}\right) \\
&=&\left( 1-0,1-0\right) \\
&=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}であるものとします。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす\(p,q\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) &=&\left\Vert
\boldsymbol{x}_{p}-\boldsymbol{x}_{q}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( 1-\frac{1}{p},1-\frac{1}{p^{2}}\right) -\left( 1-\frac{1}{q},1-\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{q}-\frac{1}{p},\frac{1}{q^{2}}-\frac{1}{p^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) -\left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) \right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert
+\left\Vert \left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) \right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert
+\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert \quad
\because p,q\geq N \\
&=&2\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすほど十分大きい\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす\(p,q\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) &<&2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)はコーシー列です。さらに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( 1-\frac{1}{v},1-\frac{1}{v^{2}}\right) \\
&=&\left( 1-0,1-0\right) \\
&=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立ちます。
続いて、集合\(A\)上のコーシー列の極限が\(A\)の要素にならない事例を挙げます。
例（完備な部分集合）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界開区間\(\left(0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)上の要素を項として持つ点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{equation*}であるものとします。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす\(p,q\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) &=&\left\Vert
\boldsymbol{x}_{p}-\boldsymbol{x}_{q}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) -\left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{p}-\frac{1}{q},\frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) -\left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) \right\Vert
+\left\Vert \left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert
+\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert \quad
\because p,q\geq N \\
&=&2\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすほど十分大きい\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす\(p,q\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) &<&2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)はコーシー列です。さらに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\not\in \left( 0,1\right)
\times \left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}であるものとします。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}を示すことが目標です。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それに対して\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす\(p,q\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) &=&\left\Vert
\boldsymbol{x}_{p}-\boldsymbol{x}_{q}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) -\left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{p}-\frac{1}{q},\frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) -\left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \left( \frac{1}{p},\frac{1}{p^{2}}\right) \right\Vert
+\left\Vert \left( \frac{1}{q},\frac{1}{q^{2}}\right) \right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert
+\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert \quad
\because p,q\geq N \\
&=&2\left\Vert \left( \frac{1}{N},\frac{1}{N^{2}}\right) \right\Vert \\
&=&2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation}
\forall N\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N\wedge q\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(\left( 2\right) \)を用いて\(\left( 1\right) \)を示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たすほど十分大きい\(N\in \mathbb{N} \)を選びます。\(\left( 2\right) \)は任意の番号\(N\)について成り立つため、\(\left( 3\right) \)を満たす\(N\)についても\(\left( 2\right) \)が成り立つことに注意してください。したがって、\(p\geq N\)かつ\(q\geq N\)を満たす\(p,q\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) &<&2\sqrt{\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{4}}}\quad \because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)の証明が完了しました。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)はコーシー列です。さらに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\not\in \left( 0,1\right)
\times \left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が与えられた状況において\(A\)の要素を項として持つコーシー列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を選んだとき、その極限が\(A\)の要素になるケースと、その極限が\(A\)の要素にならないケースの双方が起こり得ることが明らかになりました。その一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)の要素を項として持つコーシー列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選んだとき、その極限が必ず\(A\)の要素になる場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{はコーシー列}
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in A
\end{equation*}が必ず成り立つ場合には、このような集合\(A\)は完備である（complete）であると言います。
例（有界閉区間は完備）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)が完備であることを示します。そこで、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \\
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{はコーシー列}
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選びます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)であるため、\(\left( b\right) \)およびコーシー列の定義より、\begin{equation}\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N_{1}\wedge q\geq N_{1}\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <\frac{\varepsilon }{2}\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(a\right) \)より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界な点列であるため、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の部分列の中には\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点へ収束するものが存在するため、それを\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)で表記します。その極限を\(\boldsymbol{L}\in \mathbb{R} ^{2}\)で表記すると、先の\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)に対して、\begin{equation}\exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N_{2}\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) },\boldsymbol{L}\right) <\frac{\varepsilon }{2}\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義単調増加関数です。さらに、\(\left( a\right) \)および部分列の定義より、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、極限についても、\begin{equation}
\boldsymbol{L}\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}と定めます。\(v\geq N\)を満たす\(v\in \mathbb{N} \)を任意に選ぶと\(v\geq N_{1}\)かつ\(v\geq N_{2}\)が成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{L}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{L}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }+\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }+\boldsymbol{L}\right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{x}_{l\left( v\right)
}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }+\boldsymbol{L}\right\Vert \\
&=&d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right)
+d\left( \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) },\boldsymbol{L}\right) \\
&<&\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{L}
\end{equation*}であることが明らかになりました。これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)が完備であることが明らかになりました。
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{はコーシー列}
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選びます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)であるため、\(\left( b\right) \)およびコーシー列の定義より、\begin{equation}\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall p\in \mathbb{N} ,\ \forall q\in \mathbb{N} :\left[ p\geq N_{1}\wedge q\geq N_{1}\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{p},\boldsymbol{x}_{q}\right) <\frac{\varepsilon }{2}\right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(a\right) \)より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有界な点列であるため、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の部分列の中には\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点へ収束するものが存在するため、それを\(\left\{ \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right\} \)で表記します。その極限を\(\boldsymbol{L}\in \mathbb{R} ^{2}\)で表記すると、先の\(\frac{\varepsilon }{2}>0\)に対して、\begin{equation}\exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N_{2}\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) },\boldsymbol{L}\right) <\frac{\varepsilon }{2}\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義単調増加関数です。さらに、\(\left( a\right) \)および部分列の定義より、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、極限についても、\begin{equation}
\boldsymbol{L}\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}と定めます。\(v\geq N\)を満たす\(v\in \mathbb{N} \)を任意に選ぶと\(v\geq N_{1}\)かつ\(v\geq N_{2}\)が成り立つため、このとき、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{L}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{L}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }+\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }+\boldsymbol{L}\right\Vert \\
&\leq &\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{x}_{l\left( v\right)
}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }+\boldsymbol{L}\right\Vert \\
&=&d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{x}_{l\left( v\right) }\right)
+d\left( \boldsymbol{x}_{l\left( v\right) },\boldsymbol{L}\right) \\
&<&\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{L}
\end{equation*}であることが明らかになりました。これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が成り立つため、\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)が完備であることが明らかになりました。
例（ユークリッド空間は完備）
\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)自身の非空な部分集合であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)が完備であるか検討できます。そこで、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n} \\
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{はコーシー列}
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選びます。点列がコーシー列であることとその点列が収束することは必要十分であるため、\(\left( b\right) \)より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は収束します。つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)は完備です。
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{はコーシー列}
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選びます。点列がコーシー列であることとその点列が収束することは必要十分であるため、\(\left( b\right) \)より\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は収束します。つまり、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)は完備です。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が完備であることとは、\(A\)の要素を項として持つ任意のコーシー列が\(A\)上の点へ収束することとして定義されます。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が完備ではないこととは、\(A\)の要素を項として持つコーシー列の中に\(A\)上の点へ収束しないものが存在することを意味します。
例（有界開区間は完備ではない）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界開区間\(\left(0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)上の要素を項として持つ点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{equation*}であるものとします。先に示したように、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)の要素を項として持つコーシー列です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&\not\in &\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left(0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)は完備ではありません。
\end{equation*}であるものとします。先に示したように、この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)の要素を項として持つコーシー列です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&\not\in &\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left(0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)は完備ではありません。
完備部分集合と閉集合の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合であることとは、その補集合\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることとして定義されます。さらに、\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A^{c},\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A^{c}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。また、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の要素を項として持つ任意の収束列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限もまた\(A\)の要素であることは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件です。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が完備である場合、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合になることが保証されます。
命題（完備部分集合は閉集合）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が完備であるならば、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である。
先の命題の逆もまた成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である場合、\(A\)は完備であることが保証されます。
命題（閉集合は完備）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるならば、\(A\)は完備である。
以上の2つの命題より、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を舞台とした場合、その非空な部分集合が完備であることと、その集合が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることは概念として一致することが明らかになりました。
命題（完備部分集合と閉集合の関係）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\(A\)が完備であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることは必要十分である。
実数空間上の完備部分集合とユークリッド空間上の完備部分集合の関係
実数空間上の完備部分集合の直積をとれば、それはユークリッド空間上の完備部分集合になります。
命題（実数空間上の完備部分集合とユークリッド空間上の完備部分集合の関係）
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\subset \mathbb{R} \)がいずれも\(\mathbb{R} \)上の完備部分集合であるならば、これらの直積\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\times \cdots \times A_{n}
\end{equation*}はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の完備部分集合である。
\end{equation*}はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の完備部分集合である。
例（有界閉区間は完備）
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)が完備であることは先に例を通じて確認しましたが、同じことを先の命題を用いて証明します。\(\mathbb{R} \)上の有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)は完備であるため、先の命題より、直積集合\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の完備部分集合です。
演習問題
問題（整数集合の直積は完備）
整数集合の直積\(\mathbb{Z} ^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の完備部分集合であることを示してください。
問題（有理数集合の直積は完備ではない）
有理数集合の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の完備部分集合ではないことを示してください。
問題（無理数集合の直積は完備ではない）
無理数集合の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の完備部分集合ではないことを示してください。
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