問題1（10点）
問題（2次形式の表現行列）
以下の2次形式の表現行列をそれぞれ特定してください（各5点）。
- \(Q\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}\)
- \(Q\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)=3x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{3}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}\)
問題2（20点）
問題（固有値と2次形式の符号の関係）
以下の2次形式の表現行列をそれぞれ特定した上で、表現行列の固有値を特定し、さらに固有値を用いてもとの2次形式の符号を判定してください（各10点）。
- \(Q\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}\)
- \(Q\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}\)
問題3（25点）
問題（2次形式の表現行列）
2次形式\(Q_{A}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値が、実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}Q_{A}\left( x_{1},x_{2}\right) =ax_{1}^{2}+2bx_{1}x_{2}+cx_{2}^{2}
\end{equation*}と表されるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。
\end{equation*}と表されるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。
- \(Q_{A}\)の表現行列\(A\)を求めた上で、\(A\)のすべての主座小行列式の値を特定してください。
- \(Q_{A}\)が正定値であるために\(a,b,c\)が満たすべき条件を特定してください。
- \(Q_{A}\)が半正定値であるために\(a,b,c\)が満たすべき条件を特定してください。
- \(Q_{A}\)が負定値であるために\(a,b,c\)が満たすべき条件を特定してください。
- \(Q_{A}\)が半負定値であるために\(a,b,c\)が満たすべき条件を特定してください。
問題4（20点）
問題（多変数関数の最適化）
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して以下の実数\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\frac{1}{2}x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+2xy+5yz
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。
- \(f\)の停留点を求めてください。
- 問1において求めた停留点における\(f\)のヘッセ行列の符号を特定した上で、その停留点が極大点、極小点、鞍点の中のどれであるかを特定してください。
問題5（25点）
問題（多変数関数の最適化と凹凸）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して以下の実数\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{3}-y^{3}+9xy
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(f\)の停留点を求めてください（5点）。
- 問1において求めた停留点における\(f\)のヘッセ行列の符号を特定した上で、その停留点が極大点、極小点、鞍点の中のどれであるかを特定してください（10点）。
- 問2において求めた停留点の中に極大点または極小点が存在する場合、それらが最大点や最小点であるか検証してください（10点）。
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