拡大実数値をとる多変数の凸関数・凹関数

実数値をとる多変数の凸関数の拡大実数値拡張

凸集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が凸関数であることは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left(
1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は凸集合\(X\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとでユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)全体に拡張することにより分析が容易になります。

凸集合上に定義された凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
+\infty & \left( if\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの凸関数\(f\)の定義域である凸集合\(X\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(X\)に属さない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は正の無限大\(+\infty \)を定めることにより、定義域を\(X\)から\(\mathbb{R} ^{n}\)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの凸関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。

誤解の恐れがない場合には、凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。

凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられたとき、これもまた以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たします。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。

拡大実数値をとる多変数の凸関数から得られる実数値の凸関数

凸集合上に定義され、実数だけを値としてとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)は以下の性質\begin{equation}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすことが明らかになりました。以上を踏まえた上で、逆に、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が\(\left( 1\right) \)を満たす場合には、\(f\)を凸関数（convex function）と呼びます。

では、拡大実数値をとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられた場合、その定義域を何らかの凸集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)に制限することにより、実数だけを値としてとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を生成できるのでしょうか。

拡大実数値をとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。

拡大実数値をとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が有限な実数を値としてとる場合、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を真凸関数（proper convex function）と呼びます。真凸関数を特徴づける先の条件は、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) \not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、有効領域が非空であるような凸関数を真凸関数と呼ぶということです。逆に、凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が真凸関数でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) =\phi
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を広義凸関数（improper convex function）と呼びます。

拡大実数値をとる凸関数の有効領域は必ず凸集合です。

拡大実数値をとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)の有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は凸集合であるため、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)に縮小することにより、凸集合上に定義された実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。この関数\(f\)は凸関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)に対して、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \geq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は凸関数であることが保証されます。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

実数値をとる多変数の凹関数の拡大実数値拡張

凸集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が凹関数であることは、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right)
f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \lambda \boldsymbol{x}+\left(
1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、以上の定義において\(f\)は凸集合\(X\)上においてのみ定義されており、なおかつ\(f\)は有限な実数だけを値としてとり得る状況を想定しています。場合によっては、\(f\)の定義域を以下のルールのもとでユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)全体に拡張することにより分析が容易になります。

凸集合上に定義された凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の拡大実数\begin{equation*}\widetilde{f}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( \boldsymbol{x}\right) & \left( if\ \boldsymbol{x}\in X\right) \\
-\infty & \left( if\ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash X\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\widetilde{f}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの凹関数\(f\)の定義域である凸集合\(X\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は\(f\)が定める値をそのまま定め、\(X\)に属さない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して\(\widetilde{f}\)は負の無限大\(-\infty \)を定めることにより、定義域を\(X\)から\(\mathbb{R} ^{n}\)へ拡張するということです。このような拡大実数値関数\(\widetilde{f}\)をもとの凹関数\(f\)の拡大実数値拡張（extended-value extension of \(f\)）と呼びます。

誤解の恐れがない場合には、凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張もまた、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。以降ではこの慣例にしたがいます。

凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が与えられたとき、これもまた以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たします。ただし、ここでの演算および大小関係は拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算と大小関係であることに注意してください。

拡大実数値をとる多変数の凹関数から得られる実数値の凹関数

凸集合上に定義され、実数だけを値としてとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その拡大実数値拡張\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)を定義すれば、それは以下の性質\begin{equation}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left(
\lambda \boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすことが明らかになりました。そこで、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が\(\left( 1\right) \)を満たす場合には、そのような\(f\)を凹関数（concave function）と呼びます。

では、拡大実数値をとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が与えられた場合、その定義域を何らかの凸集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)に制限することにより、実数だけを値としてとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を生成できるのでしょうか。

拡大実数値をとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\(f\)が実数を値としてとり得る変数の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) >-\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の有効領域（effective domain）と呼びます。

拡大実数値をとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が有限な実数を値としてとる場合、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x\right) >-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)を真凹関数（proper concave function）と呼びます。真凹関数を特徴づける先の条件は、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) \not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、有効領域が非空であるような凹関数を真凹関数と呼ぶということです。逆に、凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が真凹関数でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ^{n}:f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) =\phi
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)を広義凹関数（improper concave function）と呼びます。

拡大実数値をとる凹関数の有効領域は必ず凸集合です。

拡大実数値をとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)の有効領域\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は凸集合であるため、\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} ^{n}\)から\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)に縮小することにより、凸集合上に定義された実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \mathrm{dom}\left( f\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。この関数\(f\)は凹関数になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)に対して、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ,\
\forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( \boldsymbol{x}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( \boldsymbol{y}\right) \leq f\left( \lambda
\boldsymbol{x}+\left( 1-\lambda \right) \boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は凹関数であることが保証されます。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

拡大実数値をとる凸関数と凹関数の関係

拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( -f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =-f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を定める拡大実数値関数\begin{equation*}
-f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\}
\end{equation*}が定義可能です。\(f\)が凸関数であることと\(-f\)が凹関数であることは必要十分であり、\(f\)が凹関数であることと\(-f\)が凸関数であることは必要十分です。

演習問題