曲線の曲率ベクトル（曲率）

曲率が必要とされる背景

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。\(\boldsymbol{f}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}です。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において微分可能である場合、そこでの微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( a\right) \\
\vdots \\
f_{n}^{\prime }\left( a\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)において曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)と接する直線\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( a\right) +\left( x-a\right) \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}の方向ベクトルであるため、\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)を曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における接ベクトルと呼びました。これは変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)の進行方向を表すベクトルあり、変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における値\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の瞬間変化率を表します。

接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(a\right) \)はベクトルであるため、向きと大きさに関する情報をともに含んでいます。そこで、ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)の向きだけをとり出すために、\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \)の大きさを\(1\)に正規化した指標\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( a\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( a\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定義し、これを曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における単位接ベクトルと呼びました。

単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( a\right) \)は、変数\(x\)の値が\(a\)である瞬間における曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)の進行方向を表します。その瞬間において、点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)の進行方向が変化する向きは\(\boldsymbol{T}^{\prime}\left( a\right) \)です。ただし、\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( a\right) \)はベクトルであり、ベクトルは向きと大きさに関する情報をともに含むため、ベクトル\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( a\right) \)の大きさを\(1\)に正規化した指標\begin{equation*}\boldsymbol{N}\left( a\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( a\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( a\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定義し、これを曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)における主法線ベクトルと呼びました。その上で、主法線ベクトルと単位ベクトルは直交すること、すなわち、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( a\right) \cdot \boldsymbol{N}\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを示しました。以上の事実は、点の方向を変える力は、点が進んでいる方向の真横からしか働かないことを表しています。

主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( a\right) \)は単位ベクトルであるため、点が曲がる方向だけを伝える指標です。実際には、点が曲がる方向が同じでも、曲がり方の激しさが異なる状況が起こり得ます。主法線ベクトルは曲がる方向を教えてくれる一方で、曲がり方の激しさの違いを表現できません。以下の例より明らかです。

曲線の曲率ベクトルと曲率

曲線の曲がり方の違いを表現するためには、移動した弧長に対する接線の向きの変化率をとればよいことが明らかになりました。つまり、単位接ベクトルを弧長で微分すれば、曲線の曲がり方を表現する指標が得られます。以下ではそのような指標を厳密に定義します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は正則であるものとします。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \boldsymbol{f}\text{は}\left[ a,b\right] \text{上で}C^{1}\text{級である} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \left[ a,b\right] :\boldsymbol{f}^{\prime
}\left( x\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}が成り立つということです。この場合には曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は求長可能であるため、弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(s\)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値は、\begin{equation*}s\left( x\right) =\Lambda \left( a,x\right) =\int_{a}^{x}\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert dt
\end{equation*}です。さらに、この場合に\(s\)は\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であり、導関数\(s^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) :s^{\prime }\left( x\right) =\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}を満たします。これと\(\left( b\right) \)より\(s\)は狭義単調増加関数であることに注意してください。

弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は狭義単調増加であるため、その終集合を値域に制限して、\begin{equation*}s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \left[ 0,s\left( b\right) \right] \end{equation*}とすれば全単射になります。したがって逆関数\begin{equation*}
s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \left[ a,b\right] \end{equation*}が存在し、これはそれぞれの弧長\(s\in \left[ 0,s\left(b\right) \right] \)に対して、それに対応する変数\(x\)の値\(s^{-1}\left( s\right) \in \left[ a,b\right] \)を定めます。つまり、\begin{equation*}\Lambda \left( a,s^{-1}\left( s\right) \right) =\int_{a}^{s^{-1}\left(
s\right) }\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert dt=s
\end{equation*}が成り立つということです。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が正則である場合には単位接ベクトル関数\(\boldsymbol{T}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \left[a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を定めます。\(s^{-1}\)の終集合と\(\boldsymbol{T}\)の定義域は一致するため合成関数\begin{equation*}\boldsymbol{T}\circ s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)に対して、弧長が\(s\)である時点における単位接ベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{T}\circ s^{-1}\right) \left( s\right) =\boldsymbol{T}\left( s^{-1}\left( s\right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。

弧長\(s_{0}\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)を任意に選びます。それに対応する変数\(x\)の値を、\begin{equation*}x_{0}=s^{-1}\left( s_{0}\right)
\end{equation*}で表記します。合成関数\(\boldsymbol{T}\circ s^{-1}\)の点\(s_{0}\)における微分係数は、\begin{eqnarray*}\frac{d}{ds}\left( \boldsymbol{T}\circ s^{-1}\right) \left( s_{0}\right) &=&\frac{d}{ds}\boldsymbol{T}\left( s^{-1}\left( s_{0}\right) \right) \\
&=&\left. \frac{d}{ds}\boldsymbol{T}\left( s^{-1}\left( s\right) \right)
\right\vert _{s=s_{0}} \\
&=&\left. \left[ \left. \frac{d}{dx}\boldsymbol{T}\left( x\right)
\right\vert _{x=s^{-1}\left( s\right) }\cdot \frac{d}{ds}s^{-1}\left(
s\right) \right] \right\vert _{s=s_{0}}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \left[ \left. \frac{d}{dx}\boldsymbol{T}\left( x\right)
\right\vert _{x=s^{-1}\left( s\right) }\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}s\left( x\right) }\right\vert _{x=s^{-1}\left( s\right) }\right] \right\vert
_{s=s_{0}}\quad \because \text{逆関数の微分} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\boldsymbol{T}\left( x\right) \right\vert
_{x=s^{-1}\left( s_{0}\right) }\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}s\left(
x\right) }\right\vert _{x=s^{-1}\left( s_{0}\right) } \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\boldsymbol{T}\left( x\right) \right\vert
_{x=x_{0}}\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}s\left( x\right) }\right\vert
_{x=x_{0}}\quad \because x_{0}=s^{-1}\left( s_{0}\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\boldsymbol{T}\left( x_{0}\right) \cdot \frac{1}{\frac{d}{dx}s\left( x_{0}\right) } \\
&=&\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x_{0}\right) \cdot \frac{1}{s^{\prime
}\left( x_{0}\right) } \\
&=&\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x_{0}\right) }{\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x_{0}\right) \right\Vert }\quad \because
s^{\prime }\left( x\right) =\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{d}{ds}\left( \boldsymbol{T}\circ s^{-1}\right) \left( s_{0}\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x_{0}\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x_{0}\right) \right\Vert }
\end{equation*}を得ます。

このような事情を踏まえた上で、値\(x\in \left[ a,b\right] \)が与えられたとき、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)における曲率ベクトル（curvature vector）を、\begin{equation*}\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}と定義します。これは曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)における曲がり方の激しさを表現する指標です。

主法線ベクトルは、\begin{equation*}
\boldsymbol{N}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}と定義されるため、これを用いて曲率ベクトルを変形すると、\begin{eqnarray*}
\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert } &=&\frac{\boldsymbol{T}^{\prime
}\left( x\right) \left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert
\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime
}\left( x\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }\boldsymbol{N}\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }=\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime
}\left( x\right) \right\Vert }\boldsymbol{N}\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、曲率ベクトルは主法線ベクトルと同一方向のベクトルです。主法線ベクトルは単位ベクトルであるため、曲率ベクトルの大きさは、\begin{equation*}
\kappa \left( x\right) =\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert }
\end{equation*}です。このスカラー\(\kappa \left( x\right) \)を曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)における曲率（curvature）と呼びます。曲率\(\kappa \left(x\right) \)を利用すれば、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)における曲がり方の激しさをスカラーを用いて表現できます。

曲率は変数のとり方に依存しない

変数\(x\)に関するベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。変数の値が\(x_{0}\in \left[ a,b\right] \)である時点における曲率は、\begin{equation}\kappa \left( x_{0}\right) =\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
x_{0}\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x_{0}\right) \right\Vert } \quad \cdots (1)
\end{equation}です。曲率は単位接ベクトルを弧長で微分することにより得られる概念であることに注意してください。そこで、微分可能な単調増加関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を用いて変数\(x\)を新たな変数\begin{equation*}u=h\left( x\right)
\end{equation*}へと変換します。その逆関数を、\begin{equation*}
x=h^{-1}\left( u\right)
\end{equation*}で表記します。先の点\(x_{0}\)は、\(u_{0}=h\left( x_{0}\right) \)を満たす\(u_{0}\)を用いて\(h^{-1}\left(u_{0}\right) \)と表せます。さて、変数を\(x\)から\(h\)へ変換しても変数の値が変化するスピードが変化するだけで、単位接ベクトルと弧長の割合には影響を与えないため、曲率は\(\left( 1\right) \)のままのはずです。つまり、\(f\)を変数\(u\)に関する関数とみなした場合、点\(h^{-1}\left(u_{0}\right) \)における曲率は\(\left( 1\right) \)と一致します。実際、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( h^{-1}\left( u_{0}\right) \right) &=&\left.
\frac{d}{dh}\boldsymbol{f}\left( h^{-1}\left( u\right) \right) \right\vert
_{u=u_{0}} \\
&=&\left. \left[ \left. \frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=h^{-1}\left( u\right) }\cdot \frac{d}{du}h^{-1}\left(
u\right) \right] \right\vert _{u=u_{0}}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \left[ \left. \frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=h^{-1}\left( u\right) }\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}h\left( x\right) }\right\vert _{x=h^{-1}\left( u\right) }\right] \right\vert
_{u=u_{0}}\quad \because \text{逆関数の微分} \\
&=&\left. \frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=h^{-1}\left( u_{0}\right) }\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}h\left(
x\right) }\right\vert _{x=h^{-1}\left( u_{0}\right) } \\
&=&\left. \frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=x_{0}}\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}h\left( x\right) }\right\vert
_{x=x_{0}} \\
&=&\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x_{0}\right) }{h^{\prime }\left(
x_{0}\right) }
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( h^{-1}\left( u_{0}\right) \right)
\right\Vert =\frac{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x_{0}\right)
\right\Vert }{h^{\prime }\left( x_{0}\right) }
\end{equation*}であり、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{T}^{\prime }\left( h^{-1}\left( u_{0}\right) \right) &=&\left.
\frac{d}{dh}\boldsymbol{T}\left( h^{-1}\left( u\right) \right) \right\vert
_{u=u_{0}} \\
&=&\left. \left[ \left. \frac{d\boldsymbol{T}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=h^{-1}\left( u\right) }\cdot \frac{d}{du}h^{-1}\left(
u\right) \right] \right\vert _{u=u_{0}}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \left[ \left. \frac{d\boldsymbol{T}\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=h^{-1}\left( u\right) }\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}h\left( x\right) }\right\vert _{x=h^{-1}\left( u\right) }\right] \right\vert
_{u=u_{0}}\quad \because \text{逆関数の微分} \\
&=&\left. \frac{d\boldsymbol{T}\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=h^{-1}\left( u_{0}\right) }\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}h\left(
x\right) }\right\vert _{x=h^{-1}\left( u_{0}\right) } \\
&=&\left. \frac{d\boldsymbol{T}\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=x_{0}}\cdot \left. \frac{1}{\frac{d}{dx}h\left( x\right) }\right\vert
_{x=x_{0}} \\
&=&\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x_{0}\right) }{h^{\prime }\left(
x_{0}\right) }
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( h^{-1}\left( u_{0}\right) \right)
\right\Vert =\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x_{0}\right)
\right\Vert }{h^{\prime }\left( x_{0}\right) }
\end{equation*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( h^{-1}\left( u_{0}\right)
\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( h^{-1}\left(
u_{0}\right) \right) \right\Vert } &=&\frac{\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x_{0}\right) \right\Vert }{h^{\prime }\left( x_{0}\right) }}{\frac{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x_{0}\right) \right\Vert }{h^{\prime }\left( x_{0}\right) }} \\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x_{0}\right) \right\Vert
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x_{0}\right) \right\Vert }
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left( 1\right) \)と一致します。

繰り返しになりますが、曲率は弧長あたりの単位接ベクトルの変化率を測定するため、点が弧の上を移動する速度、すなわち変数\(x\)が変化する速度に依存しません。点が曲線の上をゆっくり移動しても、速く移動しても、その地点の「カーブのきつさ」は一定であるからです。

接ベクトルの変化率の分解

接ベクトルの変化率の分解に関する命題を簡単に復習します。

点\(x\in \left[ a,b\right] \)における曲率は、\begin{equation*}\kappa \left( x\right) =\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert }
\end{equation*}と定義されることを踏まえると、先の命題中の分解式を、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \boldsymbol{T}\left(
x\right) +\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert
\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \boldsymbol{N}\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) +\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime
}\left( x\right) \right\Vert }\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert ^{2}\boldsymbol{N}\left( x\right) \\
&=&\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) +\kappa \left( x\right) \left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert ^{2}\boldsymbol{N}\left(
x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) =\frac{d}{dx}\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \boldsymbol{T}\left(
x\right) +\kappa \left( x\right) \left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert ^{2}\boldsymbol{N}\left( x\right)
\end{equation*}と表現できます。

第1項\(\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(x\right) \right\Vert \boldsymbol{T}\left( x\right) \)は単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)にスカラー\(\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \)がかかっています。\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)は現在の進行方向であるため、そのスカラー倍は現在の方向と同じ方向（または真後ろ）に働いています。したがって、\(\frac{d}{dx}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \)は速さを変える力の大きさを表しています。

第2項\(\kappa \left( x\right) \left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime}\left( x\right) \right\Vert ^{2}\boldsymbol{N}\left( x\right) \)は主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)にスカラー\(\kappa \left(x\right) \left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert ^{2}\)がかかっています。\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)は進行方向が変化する向きであるため、そのスカラー倍は方向を変える方向（進行方向と垂直）に働いています。したがって、\(\kappa \left(x\right) \left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert ^{2}\)は方向を変える力の大きさを表しています。

外積を用いた曲率の表現

曲線が空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上を動く場合、外積を用いて曲率を以下のように表現できます。

曲線が平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上を動く場合にも、以下のように工夫することにより外積を用いて曲率を計算できます。

演習問題