ルベーグ可測関数どうしの和はルベーグ可測
実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、2つのルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。すると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまたルベーグ可測になることが保証されます。
ルベーグ可測関数\(f,g\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能である。すると、\(f+g\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数になる。
上の命題では2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定しています。この条件が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \not\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、そもそも関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるため、\(f+g\)がルベーグ可測であるか検討することさえできません。具体例を挙げると、何らかの\(x\in X\)のもとで、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&+\infty \\
g\left( x\right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、これらの和\begin{equation*}
f\left( x\right) +g\left( x\right) =\left( +\infty \right) +\left( -\infty
\right)
\end{equation*}は不定形になってしまうため、この場合、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義できず、したがって\(f+g\)はルベーグ可測ではありません。
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能ですが、先の命題よりこれもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になります。
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
af+bg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。拡大実数値ルベーグ可測関数どうしの和は拡大実数値ルベーグ可測であるため\(af\)と\(bg\)はともに拡大実数値ルベーグ可測です。また、拡大実数値ルベーグ可測関数どうしの和は拡大実数値ルベーグ可測関数であるため\(af+bg\)が拡大実数値ルベーグ可測関数であることが明らかになりました。
ボレル可測関数どうしの和はボレル可測
実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、2つのボレル可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。すると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまたボレル可測になることが保証されます。
ボレル可測関数\(f,g\)が拡大実数値関数である場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選び、2つの拡大実数値ボレル可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能である。すると、\(f+g\)もまた拡大実数値ボレル可測関数になる。
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能ですが、先の命題よりこれもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。
\end{equation*}を定義します。拡大実数値ボレル可測関数どうしの和は拡大実数値ボレル可測関数であるため\(af\)と\(bg\)はともに拡大実数値ボレル可測関数です。また、拡大実数値ボレル可測関数どうしの和は拡大実数値ボレル可測関数であるため\(af+bg\)が拡大実数値ボレル可測関数であることが明らかになりました。
演習問題
\ln \left( x\right) +\frac{1}{x}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
\frac{\sin \left( x+1\right) }{2}+\frac{\cos \left( x+1\right) }{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
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