確認テスト II（数直線の位相）

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)について、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合かつ\(B\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(A\backslash B\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。
2. \(B\backslash A\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを証明してください。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\mathbb{Q} \cap \left( 0,1\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。\(A\)は\(\mathbb{R} \)上において開集合、閉集合、どちらでもない、のどれでしょうか。理由とともに答えてください。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A,B\)に対して、以下の集合\begin{equation*}AB=\left\{ ab\in \mathbb{R} \ |\ a\in A\wedge b\in B\right\}
\end{equation*}を定義します。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、\(AB\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるとは限らないことを示す反例を提示してください。
2. \(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるとともに、\(B\)が非ゼロの要素を含む非空集合である場合、\(AB\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であることを証明してください。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)に対して、以下の集合\begin{equation*}\hat{A}=\bigcup \left\{ O\subset A\ |\ O\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} \)上の開集合をすべて抽出した上で、それらの和集合をとったものが\(\hat{A}\)です。このとき、\(\hat{A}\)が\(A\)の内部と一致すること、すなわち、\begin{equation*}A^{i}=\hat{A}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\bigcap_{n=1}^{+\infty }\left[ -2,\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(A\)は\(\mathbb{R} \)上において開集合、閉集合、どちらでもない、のどれでしょうか。理由とともに答えてください（10点）。
2. \(A\)の内部\(A^{i}\)を特定してください（5点）。
3. \(A\)の閉包\(A^{a}\)を特定してください（5点）。
4. \(A\)の境界\(A^{f}\)を特定してください（5点）。