確認テスト I（数直線の位相）

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( a-\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合であるための必要十分条件であることを証明してください。

以下の集合\begin{equation*}
\left[ 0,1\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x<1\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の開集合と閉集合のどちらでもないことを証明してください。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有界な閉集合であることと、\(A\)がコンパクト集合であることは必要十分です（ハイネ・ボレルの被覆定理）。以上を踏まえた上で、以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\mathbb{R} \)上の非空なコンパクト集合を要素とする有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が任意に与えられたとき、その和集合\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることを証明してください。
2. \(\mathbb{R} \)上の非空なコンパクト集合を要素とする集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が任意に与えられたとき、その共通部分\begin{equation*}\bigcap_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合であることを証明してください。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\bigcup\limits_{n=1}^{+\infty }\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{n+1}<x<\frac{1}{n}\right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。境界\(A^{f}\)を特定してください。

\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ m+\frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ m,n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(A\)の集積点をすべて求めてください。
2. \(A\)の孤立点をすべて求めてください。