確認テスト II（ユークリッド空間の定義）

任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の半順序や全順序でしょうか。検討してください。ただし、右辺中の\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係です。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されている状況を想定します。以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq 0\wedge xy\leq 1\right\}
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(A\)の最大元と最小元を求めてください。存在しない場合には理由を述べてください。
2. \(A\)の極大元と極小元を求めてください。存在しない場合には理由を述べてください。
3. \(A\)の上界と下界を1つずつ求めてください。存在しない場合には理由を述べてください。
4. \(A\)の上限と下限を求めてください。存在しない場合には理由を述べてください。

以下の問いに答えてください（各15点）。

1. 1次元ユークリッド空間上の点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これと有理数集合\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)の間の距離が、\begin{equation*}d\left( x,\mathbb{Q} \right) =0\end{equation*}であることを証明してください。
2. 1次元ユークリッド空間上の点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これと無理数集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \)の間の距離が、\begin{equation*}d\left( x,\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) =0\end{equation*}であることを証明してください。

以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=[0,1)\times \lbrack 0,1)\end{equation*}は有界または非有界のどちらでしょうか。議論してください。
2. \(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}B=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq 0\right\} \end{equation*}は有界または非有界のどちらでしょうか。議論してください。
3. \(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{equation*}C=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\right\} \end{equation*}は有界または非有界のどちらでしょうか。議論してください。