拡大実数値をとる凸関数の連続性
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と定義されます。有効領域上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \)が与えられたとき、\(f\)が点\(\boldsymbol{x}_{0}\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\left[ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right\Vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) -f\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \right\vert
<\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
まずは以下の命題を示します。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が有効領域の部分集合\(X\subset \mathrm{dom}\left( f\right) \)においてリプシッツ連続であることは、\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left\vert f\left( \boldsymbol{y}\right) -f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert \leq c\left\Vert
\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。特に、\(f\)が有効領域上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \)において局所リプシッツ連続であることとは、\(f\)が点\(\boldsymbol{x}_{0}\)を中心とする何らかの近傍上においてリプシッツ連続であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in N_{\delta }\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) :\left\vert f\left( \boldsymbol{y}\right) -f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert \leq c\left\Vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
以上を踏まえた上で以下を示します。
以下が成り立ちます。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における標準基底を\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)で表記する。ベクトル\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)に対して、\begin{equation*}A=\left\{ \boldsymbol{x}_{0}\pm \varepsilon \boldsymbol{e}_{i}\ |\ i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} \right\}
\end{equation*}と定義する。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall \gamma \in \mathbb{R} ,\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left[ \left\vert \gamma
\right\vert \leq \varepsilon \Rightarrow \boldsymbol{x}_{0}+\gamma
\boldsymbol{e}_{i}\in \mathrm{Conv}\left( A\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ N_{\frac{\varepsilon }{n}}\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \subset \mathrm{Conv}\left( A\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
これまで示した諸命題を用いて以下を示します。
\end{equation*}であるものとする。この場合、\(f\)は\(\mathrm{dom}\left(f\right) ^{i}\)上の任意の点において局所リプシッツ連続である。
リプシッツ連続性は連続性を含意するため以下を得ます。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が凸関数であるとともに、\(f\)の有効領域の内部は非空であるものとする。すなわち、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) ^{i}\not=\phi
\end{equation*}であるものとする。この場合、\(f\)は\(\mathrm{dom}\left(f\right) ^{i}\)において連続である。
拡大実数値関数\(f\)が有効領域上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \)において連続である場合、この点\(\boldsymbol{x}_{0}\)は有効領域の内点であることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の諸命題を踏まえると以下を得ます。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)および有効領域上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \)が与えられたとき、以下の3つの命題は互いに必要十分である。
- \(f\)は点\(\boldsymbol{x}_{0}\)において連続である。
- \(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ^{i}\)である。
- \(f\)は点\(\boldsymbol{x}_{0}\)において局所リプシッツ連続である。
拡大実数値をとる凹関数の連続性
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) >-\infty \right\}
\end{equation*}と定義されます。有効領域上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \)が与えられたとき、\(f\)が点\(\boldsymbol{x}_{0}\)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\left[ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0}\right\Vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) -f\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \right\vert
<\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
凹関数に関しては以下が成り立ちます。凸関数に関する同様の命題と証明は同様です。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が有効領域の部分集合\(X\subset \mathrm{dom}\left( f\right) \)においてリプシッツ連続であることは、\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left\vert f\left( \boldsymbol{y}\right) -f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert \leq c\left\Vert
\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。特に、\(f\)が有効領域上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \)において局所リプシッツ連続であることとは、\(f\)が点\(\boldsymbol{x}_{0}\)を中心とする何らかの近傍上においてリプシッツ連続であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in N_{\delta }\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) :\left\vert f\left( \boldsymbol{y}\right) -f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\vert \leq c\left\Vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right\Vert
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
以下が成り立ちます。凸関数に関する同様の命題と証明は同様です。
凹関数に関しては以下が成り立ちます。凸関数に関する同様の命題と証明は同様です。
\end{equation*}であるものとする。この場合、\(f\)は\(\mathrm{dom}\left(f\right) ^{i}\)上の任意の点において局所リプシッツ連続である。
リプシッツ連続性は連続性を含意するため以下を得ます。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が凹関数であるとともに、\(f\)の有効領域の内部は非空であるものとする。すなわち、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) ^{i}\not=\phi
\end{equation*}であるものとする。この場合、\(f\)は\(\mathrm{dom}\left(f\right) ^{i}\)において連続である。
凹関数に関しては以下が成り立ちます。凸関数に関する同様の命題と証明は同様です。
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)および有効領域上の点\(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) \)が与えられたとき、以下の3つの命題は互いに必要十分である。
- \(f\)は点\(\boldsymbol{x}_{0}\)において連続である。
- \(\boldsymbol{x}_{0}\in \mathrm{dom}\left( f\right) ^{i}\)である。
- \(f\)は点\(\boldsymbol{x}_{0}\)において局所リプシッツ連続である。
実数値をとる凸関数の連続性
これまでは拡大実数値関数を議論の対象としてきましたが、先に示した命題を用いると、凸集合上に定義された実数値をとる凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるための条件が導かれます。
凸集合上に定義された凸関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるならば、\(f\)は\(X\)上において連続である。
g &:&\mathbb{R} \supset \left( a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも連続です。なぜなら、これらの関数の定義域である区間はいずれも開集合だからです。
凸関数の定義域が開集合ではない場合、先の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において凸関数である一方で、点\(0\)において右側連続ではありません（演習問題）。
実数値をとる凹関数の連続性
凸集合上に定義された実数値をとる凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であるための条件は以下の通りです。凸関数に関する同様の命題と証明は同様です。
凸集合上に定義された凹関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるならば、\(f\)は\(X\)上において連続である。
g &:&\mathbb{R} \supset \left( a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも連続です。なぜなら、これらの関数の定義域である区間はいずれも開集合だからです。
凹関数の定義域が開集合ではない場合、先の命題の主張は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において凹関数である一方で、点\(0\)において右側連続ではありません。
演習問題
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において凸関数である一方で、点\(0\)において右側連続ではないことを示してください。
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