ベクトル射影とスカラー射影

ベクトル射影

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある原点\(O\)とは異なる2つの点\(X,Y\)を任意に選び、それらの位置ベクトルを\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)でそれぞれ表記します。つまり、\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{OX}=x \\
&&\overrightarrow{OY}=y
\end{eqnarray*}です。\(X,Y\)はともに原点とは異なる点であるため\(x,y\)は非ゼロベクトルです。このとき、\begin{eqnarray*}\overrightarrow{XY} &=&\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX} \\
&=&y-x
\end{eqnarray*}となります。これらのベクトルの大きさについて、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \overrightarrow{OX}\right\Vert &=&\left\Vert x\right\Vert \\
\left\Vert \overrightarrow{OY}\right\Vert &=&\left\Vert y\right\Vert \\
\left\Vert \overrightarrow{XY}\right\Vert &=&\left\Vert x-y\right\Vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

2つのベクトル\(x,y\)のなす角\(\theta \)が鋭角の場合（\(0<\theta <\frac{\pi }{2}\)）を以下に図示しました。

点\(Y\)から点\(O,X\)を通過する直線に対して引いた垂線の足を点\(Z\)と呼ぶこととします。ベクトル\(x\)と平行な直線をスクリーンと見立てた上で、スクリーンと垂直な位置にある光源から光が差し込む場合、ベクトル\(y\)がスクリーン上に作る影は\(\overrightarrow{OZ}\)となります。このようにして得られるベクトル\(\overrightarrow{OZ}\)をベクトル\(y\)のベクトル\(x\)へのベクトル射影（vector projectionof \(y\) onto \(x\)）や射影（projection）などと呼び、\begin{equation*}\mathrm{proj}_{x}y
\end{equation*}で表記します。ここでは\(x\)と\(y\)のなす角\(\theta \)が鋭角の場合を想定しているため、ベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)はベクトル\(x\)と同一方向の非ゼロベクトルです。

2つのベクトル\(x,y\)のなす角\(\theta \)が直角の場合（\(\theta =\frac{\pi }{2}\)）を以下に図示しました。

上図から明らかであるように、ベクトル\(y\)がスクリーン上に作る影は\(\overrightarrow{OO}\)であるため、この場合のベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)はゼロベクトルです。

2つの非ゼロベクトル\(x,y\)のなす角\(\theta \)が鈍角の場合（\(\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \)）を以下に図示しました。

上図から明らかであるように、ベクトル\(y\)がスクリーン上に作る影は\(\overrightarrow{OZ}\)であるため、この場合のベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)はベクトル\(x\)と反対方向の非ゼロベクトルです。

ベクトル射影の導出方法

ベクトル射影を具体的に特定するためにはどうすればよいでしょうか。先の議論から明らかになったように、2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(y\)の\(x\)へのベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)はベクトル\(x\)と同一方向または反対方向の非ゼロベクトルであるか、またはゼロベクトルであるため、何らかのスカラー\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\mathrm{proj}_{x}y=ax \quad \cdots (1)
\end{equation}という形で表すことができます。ただし、\(x\)と\(y\)のなす角\(\theta \)が鋭角の場合には\(a>0\)であり、なす角\(\theta \)が直角の場合には\(a=0\)であり、なす角\(\theta \)が鈍角の場合には\(a<0\)です。

加えて、点\(Y\)からベクトル\(x\)と平行な直線に対して引いた垂線の足が点\(Z\)であることから、条件\(\left( 1\right) \)を満たすスカラー\(a\)のもとでベクトル\(\overrightarrow{ZY}\)の長さは最小化されます。具体的には、\begin{eqnarray*}\left\Vert \overrightarrow{ZY}\right\Vert &=&\left\Vert \overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OZ}\right\Vert \\
&=&\left\Vert y-ax\right\Vert
\end{eqnarray*}であることから、最小化問題\begin{equation*}
\min_{a\in \mathbb{R} }\left\Vert y-ax\right\Vert
\end{equation*}の解\(a\)がベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)と一致するということです。以上の方針から以下の命題が導かれます。

2つのベクトルのなす角が明らかである場合には、ベクトル射影を以下のように表現できます。

スカラー射影

2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、ベクトル\(y\)のベクトル\(x\)へのベクトル射影は、\begin{equation*}\mathrm{proj}_{x}y=\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert ^{2}}x
\end{equation*}として与えられることが明らかになりましたが、さらにこれは、\begin{equation*}
\mathrm{proj}_{x}y=\left( \frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert }\right) \frac{x}{\left\Vert x\right\Vert }
\end{equation*}と変形可能です。\(\frac{x}{\left\Vert x\right\Vert }\)は\(x\)と同一方向の単位ベクトルであることに注意してください。単位ベクトルの大きさは\(1\)であるため、以上の事実は、ベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)の大きさが\(\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert }\)であるとともに、すなわち、\begin{equation*}\left\Vert \mathrm{proj}_{x}y\right\Vert =\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert }
\end{equation*}が成り立つとともに、ベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)の向きについては、\begin{eqnarray*}\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert } &>&0\Leftrightarrow \mathrm{proj}_{x}y\text{は}x\text{と同一方向}
\\
\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert } &<&0\Leftrightarrow \mathrm{proj}_{x}y\text{は}x\text{と反対方向}
\\
\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert } &=&0\Leftrightarrow \mathrm{proj}_{x}y\text{はゼロベクトル}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことを意味します。このような意味において、このスカラー\(\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert }\)はベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)に関するすべての情報をスカラーとして集約的に表現することに成功しています。そこで、このスカラーをベクトル\(y\)のベクトル\(x\)へのスカラー射影（scalar projection of \(y\) onto \(x\)）と呼び、\begin{equation*}\mathrm{comp}_{x}y=\frac{x\cdot y}{\left\Vert x\right\Vert }
\end{equation*}と表記します。

2つのベクトルのなす角が明らかである場合には、スカラー射影を以下のように表現できます。

ベクトルの直交化

2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)のなす角が\(\theta \)である場合には、以下の関係\begin{equation*}x\cdot y=0\Leftrightarrow \theta =\frac{\pi }{2}
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(x\)と\(y\)は直交することを、\begin{equation*}x\cdot y=0
\end{equation*}が成り立つこととして定義し、そのことを、\begin{equation*}
x\perp y
\end{equation*}と表記するものと定めました。ベクトル\(x,y\)が直交でない場合でも、ベクトル射影を用いて一方のベクトルを変換することにより、直交する2つのベクトルを得ることができます。

つまり、2つの非ゼロベクトル\(x,y\)が与えられたとき、\(y\)の\(x\)へのベクトル射影\(\mathrm{proj}_{x}y\)をとった上で、これと\(y\)とのベクトル差\(y-\mathrm{proj}_{x}y\)をとれば、これが\(x\)と直交するベクトルになることが保証されます。

演習問題