曲線のノルムの極限

収束する曲線(ベクトル値関数)のノルムとして定義される曲線もまた収束します。
曲線 ベクトル値関数 ノルム 極限
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点において収束する曲線のノルムの極限

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) &=&\left\Vert f\left( x\right)
\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{m}f_{i}\left( x\right) \cdot f_{i}\left( x\right) }\quad \because \text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}を定める関数\(\left\Vert f\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の座標関数です。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとき、\(\left\Vert f\right\Vert \)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) =\left\Vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}がともに成り立つものとします。これは、\(f\)のすべての座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することと必要十分であり、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。また、収束する関数の積も収束するため、関数\(f_{i}\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する場合には関数\(f_{i}\cdot f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{i}\cdot f_{i}\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
a}f_{i}\left( x\right) \quad\cdots (2)
\end{equation}という関係が成り立ちます。さらに、収束する関数の和も収束するため、関数\(f_{i}\cdot f_{i}\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する場合には関数\(\sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot f_{i}\right)
\left( x\right) =\sum\limits_{i=1}^{m}\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{i}\cdot
f_{i}\right) \left( x\right) \quad\cdots (3)
\end{equation}という関係が成り立ちます。さらに、無理関数は収束するため、関数\(\sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot f_{i}\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する場合には関数\(\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot f_{i}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot f_{i}}\right) \left( x\right) =\sqrt{\lim_{x\rightarrow a}\left(
\sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot f_{i}\right) \left( x\right) } \quad\cdots (4)
\end{equation}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{m}f_{i}\left( x\right)
\cdot f_{i}\left( x\right) }\right) \quad \because \left\Vert f\right\Vert
\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot f_{i}}\right) \left( x\right) \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow a}\left( \sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot
f_{i}\right) \left( x\right) }\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m}\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{i}\cdot
f_{i}\right) \left( x\right) }\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m}\lim_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right)
\cdot \lim_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right) }\quad \because \left(
2\right) \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert \quad
\because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

命題(点において収束する曲線のノルムの極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\Vert f\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(\left\Vert f\right\Vert \)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) =\left\Vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}を満たす。
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例(点において収束する曲線のノルムの極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、関数\(\left\Vert f\right\Vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。実際、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x^{2}-x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x+1\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a^{2}-a \\
a+1\end{array}\right)
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) &=&\left\Vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( a^{2}-a\right) ^{2}+\left( a+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) =\sqrt{\left( x^{2}-x\right)
^{2}+\left( x+1\right) ^{2}}
\end{equation*}であることから、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{\left( x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x+1\right)
^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( a^{2}-a\right) ^{2}+\left( a+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
例(点において収束する曲線のノルムの極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\Vert f\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ノルムの定義より、それぞれの\(x\in X\)について、\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) =\sqrt{f\left( x\right) \cdot
f\left( x\right) }=\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立つため、この場合にはノルム\(\left\Vert f\right\Vert \)が絶対値と一致します。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数に収束する場合には、先の命題より、\(\left\Vert f\right\Vert \)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) =\left\Vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}を満たしますが、ノルムの定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =\left\vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}と言い換え可能です。したがって、先の命題は収束する関数の絶対値の極限に関する命題の一般化です。

 

無限大において収束する曲線のノルム

無限大において収束する曲線についても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(無限大において収束する曲線のノルムの極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\Vert f\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が任意の限りなく大きい実数において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(\left\Vert f\right\Vert \)は\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\Vert f\right\Vert \left( x\right)
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}を満たす。また、\(f\)が任意の限りなく小さい実数において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(\left\Vert f\right\Vert \)は\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left\Vert f\right\Vert \left( x\right)
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}を満たす。
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例(無限大において収束する曲線のノルムの極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(\left\Vert f\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。実際、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\Vert f\right\Vert \left( x\right)
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+0^{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) =\sqrt{\left( \frac{1}{x}\right)
^{2}+\left( -\frac{1}{x}\right) ^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\left\vert
x\right\vert }
\end{equation*}であることから、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\Vert f\right\Vert \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{\sqrt{2}}{\left\vert
x\right\vert }\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

次回は~について学びます。

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