微分を用いた1変数の凸関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、定義にもとづいて関数が凸であることを示す作業は煩雑になりがちです。関数が微分可能である場合、それが凸関数であることを比較的容易に示すことができます。順番に解説します。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域の内部\(I^{i}\)において微分可能であるものとします。つまり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するということです。加えて、\(f\)は凸関数であるものとします。以上の条件を満たす関数のグラフを以下に図示しました。
凸関数\(f\)のグラフは下に凸であるような曲線（もしくは直線部分を持つ）であるため、グラフ上の点を任意に選んだとき、そこでの接線の全体が\(f\)のグラフの下方に位置するはずです。つまり、\(f\)の定義域上の内点\(x_{1}\in I^{i}\)を任意に選んだとき、この点における\(f\)のグラフの接線の方程式は、\begin{equation*}y=f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x-x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}で与えられますが、\(f\)が凸関数である場合には、この接線全体が\(f\)のグラフの下方にあること、すなわち、任意の\(x_{2}\in I\)について、\begin{equation*}f\left( x_{2}\right) \geq f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left(
x_{2}-x_{1}\right) +f\left( x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つはずです。これは正しい主張です。
f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right) +f\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題を用いると、凸関数\(f\)の導関数が単調増加関数であることが導かれます。
先の命題の逆もまた成立します。つまり、微分可能な関数の導関数が単調増加であるならば、その関数は凸関数であるということです。証明ではラグランジュの平均値の定理などを利用します。
以上の諸命題より、微分可能な関数が凸関数であることを以下のような形で特徴づけられることが明らかになりました。
&&\left( b\right) \ \forall x_{1}\in I^{i},\ x_{2}\in I:f\left( x_{2}\right)
\geq f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right) +f\left(
x_{1}\right) \\
&&\left( c\right) \ \text{導関数}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I^{i}\rightarrow \mathbb{R} \text{は単調増加関数である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。
以上の命題を踏まえると、関数\(f\)が2階微分可能である場合には、\(f\)が凸関数であることを以下のように特徴づけられます。
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が凸関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため2階微分可能です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =2
\end{equation*}を定めます。したがって、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f^{\prime }\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は凸関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため2階微分可能です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。したがって、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f^{\prime }\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は凸関数です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は凸関数です（演習問題）。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&e^{-x} \\
g\left( x\right) &=&e^{\frac{x}{2}} \\
h\left( x\right) &=&e^{\pi x}
\end{eqnarray*}などはいずれも凸関数です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は凸関数です（演習問題）。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{3} \\
g\left( x\right) &=&\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \\
h\left( x\right) &=&\frac{1}{x^{\pi }}
\end{eqnarray*}などはいずれも凸関数です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は凸関数です（演習問題）。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert ^{2} \\
g\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert ^{\pi } \\
h\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert ^{\frac{5}{2}}
\end{eqnarray*}などはいずれも凸関数です。
先の命題は区間上に定義された2階微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件を与えられているため、与えられた関数が凸でないことを示す際にも利用できます。具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内部\(I^{i}\)において2階微分可能である一方で、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset I^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\exists x\in I^{i}:f^{\prime \prime }\left( x\right) <0
\end{equation*}を満たす場合、\(f\)は凸関数ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため2階微分可能です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2}
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =6x
\end{equation*}を定めます。\(x\)の値によって\(f^{\prime \prime }\left( x\right) \)は負の値を取り得るため、先の命題より\(f\)は凸関数ではありません。
微分を用いた1変数の凹関数の判定
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda
f\left( x_{1}\right) +\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq
f\left( \lambda x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。凸関数に関する先の議論において不等号の向きを逆にすればそのまま凹関数に関する議論になります。したがって、微分可能な関数が凹関数であることを以下のような形で特徴づけられます。
&&\left( b\right) \ \forall x_{1}\in I^{i},\ \forall x_{2}\in I:f\left(
x_{2}\right) \leq f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right)
+f\left( x_{1}\right) \\
&&\left( c\right) \ \text{導関数}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I^{i}\rightarrow \mathbb{R} \text{は単調減少関数である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。ただし、\(I^{i}\)は\(I\)の内部である。
また、関数\(f\)が2階微分可能である場合には、\(f\)が凹関数であることを以下のように特徴づけられます。
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が凹関数であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため2階微分可能です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2x
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-2
\end{equation*}を定めます。したがって、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f^{\prime }\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は凹関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため2階微分可能です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。したがって、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :f^{\prime }\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は凹関数です。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は凹関数です（演習問題）。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{\frac{1}{2}} \\
g\left( x\right) &=&x^{\frac{1}{3}} \\
h\left( x\right) &=&x^{\frac{1}{\pi }}
\end{eqnarray*}などはいずれも凹関数です。
先の命題は区間上に定義された2階微分可能な関数が凹関数であるための必要十分条件を与えているため、与えられた関数が凹でないことを示す際にも利用できます。具体的には、区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が\(I^{i}\)上で2階微分可能である一方で、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset I^{i}\rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\exists x\in I^{i}:f^{\prime \prime }\left( x\right) >0
\end{equation*}を満たす場合、\(f\)は凹関数ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間です。\(f\)は多項式関数であるため2階微分可能です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-3x^{2}
\end{equation*}を定め、2階導関数\(f^{\prime\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-6x
\end{equation*}を定めます。\(x\)の値によって\(f^{\prime \prime }\left( x\right) \)は正の値を取り得るため、先の命題より\(f\)は凹関数ではありません。
微分を用いた拡大実数をとる1変数の凸関数の判定
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ +\infty \right\} \)が凸関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( x_{1}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \geq f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と定義されるとともに、\(f\)が凸関数である場合には\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は区間になります。特に、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には\(f\)を真凸関数と呼びます。
拡大実数値をとる凸関数に関しても実数値関数の場合と同様の命題が成り立ちます。まずは以下の補題を示します。
,\forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) :f\left( x_{2}\right) \geq
f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right) +f\left(
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
続いて以下の補題です。
続いて以下の補題です。
以上の諸命題より、微分可能な拡大実数値関数が凸関数であることを以下のような形で特徴づけられることが明らかになりました。
&&\left( b\right) \ \forall x_{1}\in \mathrm{ri}\left( \mathrm{dom}\left(
f\right) \right) \ ,\forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) :f\left(
x_{2}\right) \geq f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right)
+f\left( x_{1}\right) \\
&&\left( c\right) \ \text{導関数}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \mathrm{ri}\left( \mathrm{dom}\left( f\right) \right) \rightarrow \mathbb{R} \text{は単調増加関数である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。
以上の命題を踏まえると、拡大実数値関数\(f\)が2階微分可能である場合には、\(f\)が凸関数であることを以下のように特徴づけられます。
\prime }\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が凸関数であるための必要十分条件である。
\begin{array}{cl}
x^{2} & \left( if\ 0\leq x\leq 2\right) \\
+\infty & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であり、その相対的内部は、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( \mathrm{dom}\left( f\right) \right) =\left( 0,2\right)
\end{equation*}です。\(f\)は\(\left( 0,2\right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( 0,2\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,2\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =2x
\end{equation*}を定めます。\(f\)は\(\left(0,2\right) \)上で2階微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset \left( 0,2\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,2\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =2
\end{equation*}を定めます。任意の\(x\in \left( 0,2\right) \)について、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、もとの拡大実数値関数\(f\)は凸関数です。
微分を用いた拡大実数をとる1変数の凹関数の判定
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty \right\} \)が凹関数であることは、\begin{equation*}\forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda f\left( x_{1}\right)
+\left( 1-\lambda \right) f\left( x_{2}\right) \leq f\left( \lambda
x_{1}+\left( 1-\lambda \right) x_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >-\infty \right\}
\end{equation*}と定義されるとともに、\(f\)が凹関数である場合には\(\mathrm{dom}\left( f\right) \)は区間になります。特に、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) >-\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathrm{dom}\left( f\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つ場合には\(f\)を真凹関数と呼びます。
凸関数に関する先の議論において不等号の向きを逆にすればそのまま凹関数に関する議論になります。したがって、微分可能な関数が凹関数であることを以下のような形で特徴づけられます。
&&\left( b\right) \ \forall x_{1}\in \mathrm{ri}\left( \mathrm{dom}\left(
f\right) \right) \ ,\forall x_{2}\in \mathrm{dom}\left( f\right) :f\left(
x_{2}\right) \leq f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( x_{2}-x_{1}\right)
+f\left( x_{1}\right) \\
&&\left( c\right) \ \text{導関数}f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \mathrm{ri}\left( \mathrm{dom}\left( f\right) \right) \rightarrow \mathbb{R} \text{は単調減少関数である}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。
また、拡大実数値関数\(f\)が2階微分可能である場合には、\(f\)が凹関数であることを以下のように特徴づけられます。
\prime }\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}を満たすことは、\(f\)が凹関数であるための必要十分条件である。
\begin{array}{cl}
-x^{2} & \left( if\ 0\leq x\leq 2\right) \\
-\infty & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の有効領域は、\begin{equation*}\mathrm{dom}\left( f\right) =\left[ 0,2\right] \end{equation*}であり、その相対的内部は、\begin{equation*}
\mathrm{ri}\left( \mathrm{dom}\left( f\right) \right) =\left( 0,2\right)
\end{equation*}です。\(f\)は\(\left( 0,2\right) \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( 0,2\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,2\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2x
\end{equation*}を定めます。\(f\)は\(\left(0,2\right) \)上で2階微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset \left( 0,2\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,2\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =-2
\end{equation*}を定めます。任意の\(x\in \left( 0,2\right) \)について、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) \leq 0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、もとの拡大実数値関数\(f\)は凹関数です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は凸関数、凹関数、その両方、そのどちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は凸関数、凹関数、その両方、そのどちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は凸関数、凹関数、その両方、そのどちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は凸関数、凹関数、その両方、そのどちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は凸関数、凹関数、その両方、そのどちらでもない、のどれでしょうか。議論してください。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)が凸関数であることを示してください。
\end{equation*}と表されるものとします。\(c\geq 1\)または\(c\leq 0\)である場合には\(f\)は凸関数である一方、\(0\leq c\leq 1\)である場合には\(f\)は凹関数であることを示してください。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)が凸関数であることを示してください。
\begin{array}{cl}
-\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
+\infty & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凸関数であることを示してください。
\begin{array}{cl}
e^{x}+3x & \left( if\ x\geq 1\right) \\
+\infty & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が凸関数であることを示してください。
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