曲線の弧長パラメータ表示

曲線を弧長パラメータで表示する必要性

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。\(\boldsymbol{f}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}です。パラメータ\(x\)の値が変化すれば曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上を点\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)が移動していきますが、この表示には曖昧さがあります。つまり、同一の形状をした曲線であっても、パラメータのとり方は一意的ではありません。以下の例より明らかです。

以上の例から明らかであるように、曲線のパラメータ表示には曲線上を動く点の速さという、曲線の図形的性質とは無関係な情報が混ざっています。もちろん、物理現象を曲線として表現する場合には曲線上を動く点の速さに関する情報は重要です。その一方で、曲線の幾何学的性質、すなわち曲線の形状に関する性質を調べたい場合には、点が動く速さという情報はノイズになります。では、曲線の形状に関する性質だけをとり出すためにはどうすればよいでしょうか。

もっとも自然な考え方は、点が曲線上を「どれだけ進んだか」を基準にパラメータを取り直すというアプローチです。つまり、点が曲線に沿って移動した道のり、すなわち弧長を新しいパラメータとして採用します。このような問題意識を背景に、以下では曲線の弧長パラメータ表示（arc length parametrization）を定義します。

曲線の弧長パラメータ表示

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が正則であるものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は\(C^{1 }\)級であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、曲線\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}は求長可能であるため、弧長関数\(s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるとともに、これはそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}s\left( x\right) =\Lambda \left( a,x\right) =\int_{a}^{x}\left\Vert
\boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert dt
\end{equation*}を値として定めます。\(\boldsymbol{f}\)は正則であるため\(\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right)\right\Vert \)は連続関数であり、したがって微分積分学の第1基本定理より、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( t\right)
\right\Vert dt=\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{ds\left( x\right) }{dx}=\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことに注意してください。さらに、\(\boldsymbol{f}\)は正則であるため、\begin{equation}\forall x\in \left[ a,b\right] :\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert >0 \quad \cdots (2)
\end{equation}もまた成り立ちます。

一般に、弧長関数\(s\)は単調増加関数ですが、\(\boldsymbol{f}\)が正則である場合には\(s\)は狭義単調増加関数です。つまり、\(s\)は単射であるため、\(s\)の終集合を値域に制限すれば全単射になります。具体的には、\begin{equation*}s\left( a\right) =\int_{a}^{a}\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
t\right) \right\Vert dt=0
\end{equation*}であることを踏まると、\(s\)の値域は、\begin{equation*}s\left( \left[ a,b\right] \right) =\left[ 0,s\left( b\right) \right] \end{equation*}であるため、\(s\)の終集合を値域\(\left[ 0,s\left( b\right) \right] \)に制限して、\begin{equation*}s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \left[ 0,s\left( b\right) \right] \end{equation*}とすれば全単射になり、したがって逆関数\begin{equation*}
s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \left[ a,b\right] \end{equation*}が存在することを保証できます。\(s^{-1}\)がそれぞれの弧長\(s\in \left[ 0,s\left(b\right) \right] \)に対して定めるパラメータ\(x\)の値は\(s^{-1}\left( s\right) \in \left[ a,b\right] \)ですが、以上の事実はパラメータ\(x\)が\(\left[ a,s^{-1}\left( s\right) \right] \)上を動く場合の弧長が\(s\)であること、すなわち、\begin{equation*}\int_{a}^{s^{-1}\left( s\right) }\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
t\right) \right\Vert dt=s
\end{equation*}が成り立つことを意味します。さらに、弧長\(s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\frac{ds^{-1}\left( s\right) }{ds} &=&\frac{1}{\left. \frac{ds\left(
x\right) }{dx}\right\vert _{x=s^{-1}\left( s\right) }}\quad \because \text{逆関数の微分} \\
&=&\frac{1}{\left. \left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert \right\vert _{x=s^{-1}\left( s\right) }}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( s^{-1}\left( s\right)
\right) \right\Vert } \\
&>&0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

これまでの議論の結果を命題としてまとめます。

以上の命題を踏まえた上で合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\circ s^{-1}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,s\left( b\right) \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定義すれば、これはそれぞれの弧長\(s\in \left[0,s\left( b\right) \right] \)に対して以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) \left( s\right) =\boldsymbol{f}\left( s^{-1}\left( s\right) \right)
\end{equation*}を値として定めます。弧長が\(s\)である時点においてパラメータ\(x\)の値は\(a\)から\(s^{-1}\left( s\right) \)まで増加しているため、\(\left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) \left( s\right) \)の値は、点が曲線の始点\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)から曲線に沿って弧長\(s\)分だけ移動した後の点の位置ベクトルです。

この合成関数\(\boldsymbol{f}\circ s^{-1}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) \left( s\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ s\in \left[ 0,s\left( b\right) \right] \right\}
\end{equation*}ですが、これをもとの曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の弧長パラメータ表示（arc length parametrization）と呼びます。曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)とその弧長パラメータ表示\(C\left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上に存在する同一の集合であり、したがって2つの曲線は図形としてはまったく同じですが、採用しているパラメータが異なります。

もとの曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)のパラメータは\(x\)ですが、この場合には曲線上を動く点の速さという情報が混ざっているため、冒頭の例で示したように、パラメータのとり方によって点が動く速さが変わってしまいます。一方、弧長パラメータ表示\(C\left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) \)ではパラメータとして弧長\(s\)を採用しているため、パラメータの増加がそのまま点の道のりの増加に対応し、したがって速さが常に\(1\)になります。実際、\(s\in \left[ 0,s\left(b\right) \right] \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) ^{\prime }\left(
s\right) \right\Vert &=&\left\Vert \frac{d\left( \boldsymbol{f}\circ
s^{-1}\right) \left( s\right) }{ds}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left. \frac{d\boldsymbol{f}\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=s^{-1}\left( s\right) }\cdot \frac{ds^{-1}\left( s\right) }{ds}\right\Vert \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left\Vert \frac{d\boldsymbol{f}\left( s^{-1}\left( s\right) \right) }{dx}\cdot \frac{ds^{-1}\left( s\right) }{ds}\right\Vert \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( s^{-1}\left( s\right) \right)
\cdot \frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( s^{-1}\left(
s\right) \right) \right\Vert }\right\Vert \quad \because \text{先の命題} \\
&=&\frac{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( s^{-1}\left( s\right)
\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( s^{-1}\left(
s\right) \right) \right\Vert } \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。弧長を新たなパラメータとして採用することにより、常に一定の速さ\(1\)で曲線上を移動する観察者の視点を手に入れられるということです。言い換えると、形状として同一の曲線であれば、誰がどのような速度で描いたによらず、曲線上の位置を入り口からの距離（弧長）という不変の単位で特定できるようなります。

弧長パラメータ表示のもとでの単位接ベクトル

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(x\in \left[ a,b\right] \)において微分可能である場合の微分係数\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime }\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}^{\prime }\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)における接ベクトル（速度ベクトル）と呼びます。接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left(x\right) \)はベクトルであるため、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)における向きと大きさ、すなわち曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の接線の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)における向きと大きさに関する情報をともに含んでいます。そこで、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)において向いている方向だけを抽出したい場合には、ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \)の大きさを\(1\)に正規化して、単位接ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{T}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を利用します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が正則である場合には、任意の\(x\in \left[ a,b\right] \)において、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert >0
\end{equation*}であり、ゆえに任意の\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left(x\right) \)が定義可能です。とは言え、\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)を導出する際には接ベクトル\(\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \)を速さ\(\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)\right\Vert \)で割るというステップを踏む必要があります。

一方、曲線を弧長パラメータ表示した場合、接ベクトルが必ず単位ベクトルになること、すなわち接ベクトルが単位接ベクトルと一致することが保証されます。

弧長パラメータ表示のもとでの主法線ベクトル

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から定義される曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の単位接ベクトル\(\boldsymbol{T}\left( x\right) \)は、パラメータの値が\(x\)である時点における曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の進行方向を表します。その時点において、点\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の進行方向が変化する向きは\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \)です。ただし、\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \)はベクトルであり、ベクトルは向きと大きさに関する情報をともに含むため、ベクトル\(\boldsymbol{T}^{\prime}\left( x\right) \)の大きさ\(1\)に正規化した主法線ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{N}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right)
}{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を利用します。これをもう少し詳しく見ます。表記の簡便化のために、\begin{equation*}
v\left( x\right) =\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert
\end{equation*}と表記すると、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert }\quad \because \boldsymbol{T}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\frac{\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) }{v\left(
x\right) }\quad \because v\left( x\right) =\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime
}\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\frac{\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) }{\left[
v\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{N}\left( x\right) &=&\frac{\boldsymbol{T}^{\prime }\left(
x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }\quad \because \boldsymbol{N}\left( x\right) \text{の定義}
\\
&=&\frac{\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) }{\left[
v\left( x\right) \right] ^{2}}/\left\Vert \frac{\boldsymbol{f}^{\prime
\prime }\left( x\right) v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) v^{\prime }\left( x\right) }{\left[ v\left( x\right) \right] ^{2}}\right\Vert \\
&=&\frac{\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) }{\left[
v\left( x\right) \right] ^{2}}/\frac{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime
\prime }\left( x\right) v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left(
x\right) v^{\prime }\left( x\right) \right\Vert }{\left[ v\left( x\right) \right] ^{2}} \\
&=&\frac{\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right) v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) v^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{N}\left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left(
x\right) v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) v^{\prime
}\left( x\right) }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime \prime }\left( x\right)
v\left( x\right) -\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) v^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert }
\end{equation*}を得ます。ここで重要なことは、\(\boldsymbol{N}\left(x\right) \)の中に点が移動する速さの変化率\(v^{\prime }\left(x\right) \)が組み込まれてしまっているということです。つまり、主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left(x\right) \)を通じて点の進行方向が変化する向きだけを表現したいにも関わらず、実際には、\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)の中には点が移動する速さに由来するノイズが混入しています。言い換えると、同一の形状の曲線であっても、パラメータのとり方を変えると\(v^{\prime }\left(x\right) \)の値が変化するため、それに伴い\(\boldsymbol{N}\left( x\right) \)の値もまた変化してしまいます。

では、曲線を弧長パラメータ表示した場合にはどうなるでしょうか。弧長パラメータ表示のもとでは点が移動する速さ\(v\left(s\right) \)は常に\(1\)で一定であるため\(v^{\prime }\left( s\right) =0\)であり、ゆえに主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)には点が移動する速さに由来するノイズが混入しません。実際、以下の命題が成り立ちます。

弧長パラメータ表示のもとでの曲率

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(x\in \left[ a,b\right] \)において微分可能である場合の曲率を、\begin{equation*}\kappa \left( x\right) =\frac{\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left(
x\right) \right\Vert }{\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)
\right\Vert }
\end{equation*}と定義しました。曲率を利用すれば曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の点\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)における曲がり方の激しさをスカラーを用いて表現できます。曲率は弧長を基準に曲線の曲がり方の激しさを表現する指標です。つまり、曲率を導出するプロセスにおいて点の速さに由来するノイズは混入しますが、最終的にそのようなノイズが相殺されるように曲率は設計されているため、主法線ベクトルの場合とは異なり、曲率の値そのものには点の速さに由来するノイズは混入していません。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が正則である場合には、任意の\(x\in \left[ a,b\right] \)において、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \not=\boldsymbol{0}
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert >0
\end{equation*}であり、ゆえに曲率\(\kappa \left( x\right) \)が常に定義可能です。とは言え、\(\kappa \left( x\right) \)を導出する際には単位接ベクトルを微分してそのノルム\(\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( x\right) \right\Vert \)をとった上で、それを速さ\(\left\Vert \boldsymbol{f}^{\prime }\left( x\right)\right\Vert \)で割るというステップを踏む必要があります。

一方、曲線を弧長パラメータ表示した場合、曲率\(\kappa \left( s\right) \)が必ず\(\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert \)と一致することが保証されます。しかも、先の命題より\(\boldsymbol{T}\left( s\right) \)は合成関数\(\boldsymbol{f}\circ s^{-1}\)の微分\(\left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) ^{\prime }\left( s\right) \)と一致するため、結局、\begin{equation*}\kappa \left( s\right) =\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right)
\right\Vert =\left\Vert \left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) ^{\prime
\prime }\left( s\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、曲率は合成関数\(\boldsymbol{f}\circ s^{-1}\)の2階微分係数の大きさと一致します。

弧長パラメータのもとでの基本関係式

曲線を弧長パラメータ表示した場合、弧長が\(s\)であるときの単位接ベクトルは、\begin{equation}\boldsymbol{T}\left( s\right) =\left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right)
^{\prime }\left( s\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、主法線ベクトルは、\begin{equation}
\boldsymbol{N}\left( s\right) =\frac{\left( \boldsymbol{f}\circ
s^{-1}\right) ^{\prime \prime }\left( s\right) }{\left\Vert \left(
\boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) ^{\prime \prime }\left( s\right)
\right\Vert } \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、曲率は、\begin{equation}
\kappa \left( s\right) =\left\Vert \left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right)
^{\prime \prime }\left( s\right) \right\Vert \quad \cdots (3)
\end{equation}であることが明らかになりました。このとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) &=&\left( \boldsymbol{f}\circ
s^{-1}\right) ^{\prime \prime }\left( s\right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left\Vert \left( \boldsymbol{f}\circ s^{-1}\right) ^{\prime \prime
}\left( s\right) \right\Vert \boldsymbol{N}\left( s\right) \quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\kappa \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right) \quad \because
\left( 3\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) =\kappa \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}を得ます。これはフレネ・セレの公式（Frenet-Serret formulas）と呼ばれる公式を構成する関係式の1つです。

弧長パラメータを採用した場合には、任意の弧長\(s\)において以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) =\kappa \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、単位接ベクトルの変化\(\boldsymbol{T}^{\prime }\left(s\right) \)は、曲がる方向を表す主法線ベクトル\(\boldsymbol{N}\left( s\right) \)と、曲がり方の激しさを表す曲率\(\kappa \left( s\right) \)とに分解されます。

さらにこのとき、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert
&=&\left\Vert \kappa \left( s\right) \boldsymbol{N}\left( s\right)
\right\Vert \\
&=&\kappa \left( s\right) \left\Vert \boldsymbol{N}\left( s\right)
\right\Vert \\
&=&\kappa \left( s\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{T}^{\prime }\left( s\right) \right\Vert =\kappa
\left( s\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、単位接ベクトルの変化の大きさは曲率と一致します。つまり、弧長パラメータを採用することにより点が移動する速さというノイズが除去され、点が進む向きの変化がそのまま曲線の曲がりとなり、その変化の度合いがそのまま曲率になるという、図形が本来持っている純粋な論理が成立します。

演習問題