教材一覧
教材一覧
教材検索
DERIVATIVES OF MULTIVARIABLE FUNCTIONS

方向導関数

目次

< 前のページ
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

方向導関数

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(f\)が定義域上の任意の点\(x\in X\)において\(e\)方向に方向微分可能である場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、そこでの方向微分係数\begin{equation*}
f_{e}\left( x\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+he\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}を定めるスカラー場\(f_{e}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。このようなスカラー場\(f_{e}\)を\(f\)の\(e\)方向の方向導関数(directional derivative of \(f\) with respect to \(e\))と呼び、\begin{equation*}
f_{e}\left( x\right) ,\quad \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial e},\quad \frac{\partial }{\partial e}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表します。スカラー場\(f\)の方向導関数\(f_{e}\)が存在するとき、\(f\)は\(e\)方向に方向微分可能(directional differentiable with respect to \(e\))であると言います。また、スカラー場\(f\)の方向導関数\(f_{e}\)を求めることを、\(f\)を\(e\)方向に方向微分する(directional differentiate with respect to \(e\))と言います。

例(方向導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\left. \frac{df\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) }{dh}\right\vert
_{h=0}\quad \because \text{方向微分の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\left( a+he_{1}\right) ^{2}\left( b+he_{2}\right)
^{3}\right\vert _{h=0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2\left( a+he_{1}\right) e_{1}\left( b+he_{2}\right) ^{3}+\left(
a+he_{1}\right) ^{2}3\left( b+he_{2}\right) ^{2}e_{2}\right\vert _{h=0}\quad
\because \text{関数の積の微分} \\
&=&2ae_{1}b^{3}+a^{2}3b^{2}e_{2} \\
&=&ab^{2}\left( 2e_{1}b+3e_{2}a\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能です。任意の点\(\left( a,b\right) \)に関して同様の議論が成立するため\(f\)は\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( x,y\right) =xy^{2}\left(
2e_{1}y+3e_{2}x\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。例えば、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =f_{\left( 1,0\right) }\left( x,y\right) =2xy^{3}
\end{equation*}であり、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{y}\left( x,y\right) =f_{\left( 0,1\right) }\left( x,y\right) =3x^{2}y^{2}
\end{equation*}です。
例(方向導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\left. \frac{df\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) }{dh}\right\vert
_{h=0}\quad \because \text{方向微分の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\sin \left( \left( a+he_{1}\right) +\left(
a+he_{1}\right) \left( b+he_{2}\right) \right) \right\vert _{h=0}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left[ \cos \left( \left( a+he_{1}\right) +\left( a+he_{1}\right)
\left( b+he_{2}\right) \right) \right] \left( e_{1}+e_{1}\left(
b+he_{2}\right) +\left( a+he_{1}\right) e_{2}\right) \right\vert _{h=0}\quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left( e_{1}+e_{1}b+e_{2}a\right) \cos \left( a+ab\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能です。任意の点\(\left( a,b\right) \)に関して同様の議論が成立するため\(f\)は\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向に方向微分可能であり、方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\left( x,y\right) =\left(
e_{1}+e_{1}y+e_{2}x\right) \cos \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。例えば、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =f_{\left( 1,0\right) }\left( x,y\right) =\left(
1+y\right) \cos \left( x+xy\right)
\end{equation*}であり、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{y}\left( x,y\right) =f_{\left( 0,1\right) }\left( x,y\right) =x\cos
\left( x+xy\right)
\end{equation*}です。

 

方向導関数の定義域

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と方向ベクトル\(e\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において\(e\)方向に方向微分可能であるとは限りません。方向\(e\)の方向導関数\(f_{e}\)はスカラー場\(f\)が方向\(e\)に方向微分可能な点においてのみ定義されます。

例(方向導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。ここで、\begin{equation}
\left\vert x-y\right\vert =\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}}=\left[ \left(
x-y\right) ^{2}\right] ^{\frac{1}{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}という変形が可能であることに注意してください。方向ベクトル\(\left( e_{1},e_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial \left( e_{1},e_{2}\right) }
&=&\left. \frac{df\left( a+he_{1},b+he_{2}\right) }{dh}\right\vert
_{h=0}\quad \because \text{方向微分の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dh}\left[ \left( \left( a+he_{1}\right) -\left(
b+he_{2}\right) \right) ^{2}\right] ^{\frac{1}{2}}\right\vert _{h=0}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{1}{2}\left[ \left( \left( a+he_{1}\right) -\left(
b+he_{2}\right) \right) ^{2}\right] ^{-\frac{1}{2}}2\left( \left(
a+he_{1}\right) -\left( b+he_{2}\right) \right) \left( e_{1}-e_{2}\right)
\right\vert _{h=0}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\frac{\left( a-b\right) \left( e_{1}-e_{2}\right) }{\left\vert
a-b\right\vert }
\end{eqnarray*}となりますが、\(a\not=b\)を満たす任意の\(\left( a,b\right) \)においてこれは有限な実数です。したがって\(f\)の\(\left( e_{1},e_{2}\right) \)方向の方向導関数\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\)の定義域は\(\mathbb{R} ^{2}\)ではなく、その部分集合である、\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=y\right\}
\end{equation*}であり、\(f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }\)はこの定義域に属するそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して、\begin{equation*}
f_{\left( e_{1},e_{2}\right) }=\frac{\left( x-y\right) \left(
e_{1}-e_{2}\right) }{\left\vert x-y\right\vert }
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。例えば、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 1,0\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =f_{\left( 1,0\right) }\left( x,y\right) =\frac{x-y}{\left\vert x-y\right\vert }
\end{equation*}であり、\(\left( e_{1},e_{2}\right) =\left( 0,1\right) \)の場合には、\begin{equation*}
f_{y}\left( x,y\right) =f_{\left( 0,1\right) }\left( x,y\right) =\frac{y-x}{\left\vert x-y\right\vert }
\end{equation*}です。

 

演習問題

問題(方向導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =x^{2}y^{3}-4xz
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left( -1,2,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に関する方向導関数\(f_{\left( -1,2,0\right) }\)を求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(方向導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =4x-y^{2}e^{3xz}
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left( -1,4,2\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に関する方向導関数\(f_{\left( -1,4,2\right) }\)を求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(方向導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。方向ベクトル\(\left( 1,1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に関する方向導関数\(f_{\left( 1,1\right) }\)を求めてください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回は方向微分と連続性の関係について解説します。

< 前のページ
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

スカラー場の微分