恒真式と恒偽式の関係
恒真式\(\top \)と恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の恒真式\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立ちます。
恒真式の否定は恒偽式であるというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、恒偽式の否定は恒真式であるというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
命題（恒真式と恒偽式の関係）
任意の恒真式\(\top \)と恒偽式\(\bot \)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot \top \Leftrightarrow \bot \\
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立つ。
& \left( b\right) \ \lnot \bot \Leftrightarrow \top
\end{align*}が成り立つ。
例（恒真式と恒偽式の関係）
命題定数\(T\)は\(1\)だけを値としてとる恒真式であり、命題定数\(F\)は\(0\)だけを値としてとる恒偽式であるため、先の命題より、\begin{align*}& \left( a\right) \ \lnot T\Leftrightarrow F \\
& \left( b\right) \ \lnot F\Leftrightarrow T
\end{align*}がともに成り立ちます。
& \left( b\right) \ \lnot F\Leftrightarrow T
\end{align*}がともに成り立ちます。
例（恒真式と恒偽式の関係）
論理式\(A\)が与えられたとき、矛盾律より、\begin{equation*}A\wedge \lnot A
\end{equation*}は恒偽式です。したがって先の命題より、その否定\begin{equation*}
\lnot \left( A\wedge \lnot A\right)
\end{equation*}は恒真式です。ちなみに、ド・モルガンの法則とベキ等律より、この恒真式は以下の論理式\begin{equation*}
\lnot A\vee A
\end{equation*}と必要十分です。以上の論理式が恒真式であるという主張は排中律に他なりません。
\end{equation*}は恒偽式です。したがって先の命題より、その否定\begin{equation*}
\lnot \left( A\wedge \lnot A\right)
\end{equation*}は恒真式です。ちなみに、ド・モルガンの法則とベキ等律より、この恒真式は以下の論理式\begin{equation*}
\lnot A\vee A
\end{equation*}と必要十分です。以上の論理式が恒真式であるという主張は排中律に他なりません。
例（恒真式と恒偽式の関係）
命題変数\(P\)に関する論理式\begin{equation*}\left( P\vee \lnot P\right) \vee P
\end{equation*}は恒真式です。先の命題より、この恒真式の否定は恒偽式です。具体的には、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \left( P\vee \lnot P\right) \vee P\right) &\Leftrightarrow
&\lnot \left( P\vee \lnot P\right) \wedge \lnot P\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot P\wedge \lnot \lnot P\right) \wedge \lnot
P\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot \lnot P\wedge \lnot P\right) \wedge \lnot
P\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \left( \lnot P\wedge \lnot P\right)
\quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \lnot P\quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lnot \lnot P\wedge \lnot P
\end{equation*}は恒偽式です。
\end{equation*}は恒真式です。先の命題より、この恒真式の否定は恒偽式です。具体的には、\begin{eqnarray*}
\lnot \left( \left( P\vee \lnot P\right) \vee P\right) &\Leftrightarrow
&\lnot \left( P\vee \lnot P\right) \wedge \lnot P\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot P\wedge \lnot \lnot P\right) \wedge \lnot
P\quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &\left( \lnot \lnot P\wedge \lnot P\right) \wedge \lnot
P\quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \left( \lnot P\wedge \lnot P\right)
\quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \lnot P\wedge \lnot P\quad \because \text{ベキ等律}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lnot \lnot P\wedge \lnot P
\end{equation*}は恒偽式です。
零元としての恒真式・恒偽式
論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の恒真式\begin{align*}& \left( a\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top \\
& \left( b\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}が成り立ちます。
論理式と恒真式の論理和をとると恒真式が得られるというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、論理式と恒偽式の論理積をとると恒偽式が得られるというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
命題（零元としての恒真式・恒偽式）
任意の論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\vee \top \Leftrightarrow \top \\
& \left( b\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}が成り立つ。
& \left( b\right) \ A\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}が成り立つ。
例（零元としての恒真式・恒偽式）
命題定数\(T\)は\(1\)だけを値としてとる恒真式であり、命題定数\(F\)は\(0\)だけを値としてとる恒偽式であるため、先の命題より、論理式\(A\)を任意に選んだとき、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\vee T\Leftrightarrow T \\
& \left( b\right) \ B\wedge F\Leftrightarrow F
\end{align*}が成り立ちます。
& \left( b\right) \ B\wedge F\Leftrightarrow F
\end{align*}が成り立ちます。
例（零元としての恒真式・恒偽式）
命題変数\(P\)を任意に選んだとき、命題変数は論理式であるため、先の命題より、\begin{align*}& \left( a\right) \ P\vee \top \Leftrightarrow \top \\
& \left( b\right) \ P\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}が成り立ちます。
& \left( b\right) \ P\wedge \bot \Leftrightarrow \bot
\end{align*}が成り立ちます。
例（零元としての恒真式・恒偽式）
命題変数\(P,Q\)を任意に選んだとき、含意\begin{equation*}P\rightarrow Q
\end{equation*}は論理式であるため、先の命題より、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \vee \top \Leftrightarrow
\top \\
& \left( b\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \bot \Leftrightarrow
\bot
\end{align*}が成り立ちます。
\end{equation*}は論理式であるため、先の命題より、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \vee \top \Leftrightarrow
\top \\
& \left( b\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \bot \Leftrightarrow
\bot
\end{align*}が成り立ちます。
例（零元としての恒真式・恒偽式）
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \wedge \lnot B
\end{equation*}が恒偽式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \wedge \lnot B &\Leftrightarrow &A\wedge \left(
B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \bot \quad \because \text{矛盾律}
\\
&\Leftrightarrow &\bot
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
\end{equation*}が恒偽式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\wedge B\right) \wedge \lnot B &\Leftrightarrow &A\wedge \left(
B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{結合律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \bot \quad \because \text{矛盾律}
\\
&\Leftrightarrow &\bot
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
例（零元としての恒真式・恒偽式）
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \vee \left( A\vee \lnot B\right)
\end{equation*}が恒真式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\vee B\right) \vee \left( A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&\left( A\vee A\right) \vee \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \top \quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &\top
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
\end{equation*}が恒真式であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}
\left( A\vee B\right) \vee \left( A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&\left( A\vee A\right) \vee \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{交換律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{ベキ等律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \top \quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &\top
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
単位元としての恒真式・恒偽式
論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の恒真式\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立ちます。
論理式と恒真式の論理積をとるともとの論理式に戻るというのが\(\left( a\right) \)の主張であり、論理式と恒偽式の論理和をとるともとの論理式に戻るというのが\(\left( b\right) \)の主張です。
命題（単位元としての恒真式・恒偽式）
任意の論理式\(A\)と恒真式\(\top \)および恒偽式\(\bot \)に対して、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge \top \Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立つ。
& \left( b\right) \ A\vee \bot \Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立つ。
例（単位元としての恒真式・恒偽式）
命題定数\(T\)は\(1\)だけを値としてとる恒真式であり、命題定数\(F\)は\(0\)だけを値としてとる恒偽式であるため、先の命題より、論理式\(A\)を任意に選んだとき、\begin{align*}& \left( a\right) \ A\wedge T\Leftrightarrow A \\
& \left( b\right) \ A\vee F\Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立ちます。
& \left( b\right) \ A\vee F\Leftrightarrow A
\end{align*}が成り立ちます。
例（単位元としての恒真式・恒偽式）
命題変数\(P\)を任意に選んだとき、命題変数は論理式であるため、先の命題より、\begin{align*}& \left( a\right) \ P\wedge \top \Leftrightarrow P \\
& \left( b\right) \ P\vee \bot \Leftrightarrow P
\end{align*}が成り立ちます。
& \left( b\right) \ P\vee \bot \Leftrightarrow P
\end{align*}が成り立ちます。
例（単位元としての恒真式・恒偽式）
命題変数\(P,Q\)を任意に選んだとき、含意\begin{equation*}P\rightarrow Q
\end{equation*}は論理式であるため、先の命題より、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \top \Leftrightarrow
\left( P\rightarrow Q\right) \\
& \left( b\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \vee \bot \Leftrightarrow
\left( P\rightarrow Q\right)
\end{align*}が成り立ちます。
\end{equation*}は論理式であるため、先の命題より、\begin{align*}
& \left( a\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \wedge \top \Leftrightarrow
\left( P\rightarrow Q\right) \\
& \left( b\right) \ \left( P\rightarrow Q\right) \vee \bot \Leftrightarrow
\left( P\rightarrow Q\right)
\end{align*}が成り立ちます。
例（単位元としての恒真式・恒偽式）
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}\left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge \lnot B\right)
\end{equation*}が\(A\)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&A\wedge \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \top \quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
\end{equation*}が\(A\)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A\wedge B\right) \vee \left( A\wedge \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&A\wedge \left( B\vee \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\wedge \top \quad \because \text{排中律}
\\
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
例（単位元としての恒真式・恒偽式）
論理式\(A,B\)に関する論理式\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \wedge \left( A\vee \lnot B\right)
\end{equation*}が\(A\)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A\vee B\right) \wedge \left( A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&A\vee \left( B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \bot \quad \because \text{矛盾律}
\\
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
\end{equation*}が\(A\)と論理的に同値であることを示します。実際、\begin{eqnarray*}\left( A\vee B\right) \wedge \left( A\vee \lnot B\right) &\Leftrightarrow
&A\vee \left( B\wedge \lnot B\right) \quad \because \text{分配律} \\
&\Leftrightarrow &A\vee \bot \quad \because \text{矛盾律}
\\
&\Leftrightarrow &A
\end{eqnarray*}となるため、証明が完了しました。
演習問題
問題（恒等律）
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( A\wedge \left( \lnot A\vee B\right) \right) \vee B\Leftrightarrow B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題（恒等律）
論理式\(A,B\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left( A\vee B\right) \wedge \left( A\vee \lnot B\right) \Leftrightarrow A
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
問題（恒等律）
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\vee \left( \lnot A\wedge \lnot B\right) \vee \left( A\wedge B\right)
\Leftrightarrow A\vee \lnot B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\Leftrightarrow A\vee \lnot B
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題（恒等律）
論理式\(A,B\)を任意に選んだとき\begin{equation*}\lnot \left( A\vee B\right) \vee \left( \lnot A\wedge B\right)
\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\Leftrightarrow \lnot A
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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