曲線の長さ（弧長）の定義と積分による導出

曲線の弧長の定義

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)はそれぞれの実数\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めるということです。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数に相当する1変数の実数値関数です。\(\boldsymbol{f}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}です。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)を任意に選びます。分割の定義より、\begin{equation*}a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b
\end{equation*}が成り立ちます。

区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\)の要素である値\(x_{k}\in P\)に対応する曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点を、\begin{equation*}P_{k}=\boldsymbol{f}\left( x_{k}\right)
\end{equation*}で表記します。さらに、隣り合う2つの点\(P_{k-1},P_{k}\)を結ぶことにより得られる線分の長さを、\begin{equation*}\left\vert P_{k-1}P_{k}\right\vert =\left\Vert \boldsymbol{f}\left(
x_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( x_{k-1}\right) \right\Vert
\end{equation*}で表記します。曲線\(C\)上に存在する有限個の点\(P_{0},P_{1},\cdots ,P_{n}\)について、隣り合う点どうしを結べば\(n\)本の線分が得られます。それらの線分の長さの総和を、\begin{eqnarray*}L\left( P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert P_{k-1}P_{k}\right\vert \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x_{k}\right) -\boldsymbol{f}\left( x_{k-1}\right) \right\Vert
\end{eqnarray*}で表記します（下図のグレーの線分の長さの総和）。

線分の長さの総和\(L\left(P\right) \)は区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)の選び方に依存するため、\(L\left( P\right) \)がとり得る値からなる集合は、\begin{equation}\left\{ L\left( P\right) \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。この集合が上に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \left[ a,b\right] \text{の分割}P:L\left(
P\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つ場合には、実数の連続性より集合\(\left( 1\right) \)の上限が存在することが保証されます。そこで、\(\left(1\right) \)が上に有界である場合には曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は求長可能（rectifiable）であると言い、その場合、\(\left( 1\right) \)の上限を、\begin{equation*}\Lambda \left( a,b\right) =\sup \left\{ L\left( P\right) \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}で表記し、これを曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の弧長（arc length）呼びます。上限の定義より、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}L\left( P\right) \leq \Lambda \left( a,b\right) \leq M
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。

以上の例が示唆するように、上限を用いた弧長の定義にもとづいて曲線の弧長を導出する作業は面倒です。曲線が一定の条件を満たす場合には、積分を用いて曲線の弧長を容易に導出できます。後ほど順番に解説します。

曲線は求長可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

弧長の非負性

曲線が求長可能である場合、その弧長は非負の実数であることが保証されます。

弧長の加法性

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)によって定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}ですが、\(a<c<b\)を満たす点\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は以下の2つの曲線\begin{eqnarray*}C_{1}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,c\right] \right\} \\
C_{2}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ c,b\right] \right\}
\end{eqnarray*}へ分割可能です。さて、\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が求長可能である場合には、\(C_{1}\left( \boldsymbol{f}\right) \)と\(C_{2}\left( \boldsymbol{f}\right) \)もまた求長可能であることが保証されるとともに、これらの曲線の弧長の間には以下の関係\begin{equation*}\Lambda \left( a,b\right) =\Lambda \left( a,c\right) +\Lambda \left(
c,b\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、求長可能な曲線を分割した場合、得られた2つの曲線はともに求長可能であるとともに、それらの弧長の和をとればもとの曲線の弧長が得られるということです。以上の性質を弧長の加法性（additivity）と呼びます。

弧長関数

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)によって定義される曲線\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}が求長可能であるものとします。この場合、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の弧長は、\begin{equation*}\Lambda \left( a,b\right) =\sup \left\{ L\left( P\right) \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{equation*}と定義されます。

\(a\leq t\leq b\)を満たす点\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の曲線\begin{equation*}C_{t}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,t\right] \right\}
\end{equation*}を定義します。\(t=a\)の場合には、\begin{eqnarray*}C_{a}\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right)
\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,a\right] \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x=a\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( a\right) \right\}
\end{eqnarray*}ですが、点の長さは\(0\)であることから、この場合には、曲線\(C_{a}\left( \boldsymbol{f}\right) \)の弧長を、\begin{equation*}\Lambda \left( a,a\right) =0
\end{equation*}と定めます。\(a<t\leq b\)の場合には、\begin{equation*}C_{t}\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in \left[ a,t\right] \right\}
\end{equation*}ですが、\(\left[ a,t\right] \subset \left[ a,b\right] \)ゆえに\(C_{t}\left( \boldsymbol{f}\right) \)もまた求長可能であるため、曲線\(C_{t}\left( \boldsymbol{f}\right) \)の弧長\begin{equation*}\Lambda \left( a,t\right)
\end{equation*}もまた有限な実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、もとの曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)が求長可能である場合には、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、以下の値\begin{equation*}s\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x=a\right) \\
\Lambda \left( a,x\right) & \left( if\ a<x\leq b\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
s:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを弧長関数（arc-length function）と呼びます。

弧長関数は単調増加関数です。

積分を用いた弧長の評価

まずは以下の命題を示します。

実は、先の命題の主張は等号で成立します。まずは以下を示します。

以上の命題を用いて以下を示します。

先の例より、速さを経過時間上で積分すれば移動距離が得られることが明らかになりましたが、これは直感的に何を表しているのでしょうか。ある時点における速さとは、その瞬間に、単位時間あたりどれだけの距離を進むかという勢いに相当する概念です。例えば、道のりを\(0.01\)秒間に進んだ距離は、近似的に「そのときの速さ\(\times 0.01\)秒」で計算できます。道のり全体を、この「\(0.01\)秒ごとの小さな移動距離」に細かく刻みます。それらを最初から最後まで全部足し合わせれば、当然、道のり全体になります。

ここで、時間の刻み幅を\(0.01\rightarrow 0.001\rightarrow \cdots \)と限りなくゼロに近づけていきます。すると、先ほどの「速さ\(\times \)単位時間」の足し算は、誤差が消えて滑らかな合計値になります。これが積分の意味です。つまり、\(\int_{a}^{b}\left\Vert \boldsymbol{r}^{\prime }\left( t\right) \right\Vert dt\)という式は、各瞬間の速さで一瞬だけ進んだ距離を、スタートからゴールまで全部つなぎ合わせるという作業を表しています。

演習問題