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DIFFERENTIATION OF SCALAR FIELDS

偏導関数

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偏導関数

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の任意の\(x\in X\)において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能である場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、そこでの\(x_{k}\)に関する偏微分係数\begin{equation*}
f_{x_{k}}\left( x\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x_{1},\cdots
,x_{k-1},x_{k}+h,x_{k+1},\cdots ,x_{n}\right) -f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}を定めるスカラー場\(f_{x_{k}}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。このようなスカラー場\(f_{x_{k}}\)を\(f\)の\(x_{k}\)に関する偏導関数(partial derivative with respect to \(x_{k}\))と呼び、\begin{equation*}
f_{x_{k}}\left( x\right) ,\quad \frac{\partial f\left( x\right) }{\partial
x_{k}},\quad \frac{\partial }{\partial x_{k}}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表します。スカラー場\(f\)の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(f_{x_{k}}\)が存在するとき、\(f\)は\(x_{k}\)に関して偏微分可能(partial differential with respect to \(x_{k}\))と呼びます。また、スカラー場\(f\)の変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(f_{x_{k}}\)を求めることを、\(f\)を\(x_{k}\)に関して偏微分する(partial differentiate with respect to \(x_{k}\))と呼びます。

例(偏導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x^{2}y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}x^{2}b^{3}\right\vert _{x=a}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. 2xb^{3}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{単項式の微分公式} \\
&=&2ab^{3}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(x\)に関して偏微分可能です。任意の点\(\left( a,b\right) \)に関して同様の議論が成立するため\(f\)は\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =2xy^{3}
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。同様の議論により、\(f\)の\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{y}\left( x,y\right) =3x^{2}y^{2}
\end{equation*}を定めることが明らかになります(確認してください)。
例(偏導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sin \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\sin \left( x+xb\right) \right\vert _{x=a}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \cos \left( x+xb\right) \cdot \left( 1+b\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because \text{三角関数の微分・連鎖公式} \\
&=&\left( 1+b\right) \cos \left( a+ab\right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(\left( a,b\right) \)において\(x\)に関して偏微分可能です。任意の点\(\left( a,b\right) \)に関して同様の議論が成立するため\(f\)は\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =\left( 1+y\right) \cos \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。同様の議論により、\(f\)の\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{y}\left( x,y\right) =x\cos \left( x+xy\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになります(確認してください)。
例(偏導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において変数\(x\)に関して偏微分可能であるかを検討します。ただ、\(f\)の定義より、\(b\)の値によって\(f\)の関数形は異なるため、\(b\)の値によって場合を分けて考える必要があります。\(b\not=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{xb}{x^{2}+b^{2}}\right) \right\vert
_{x=a}\quad \because b\not=0\text{と}f\text{の定義}
\\
&=&\left. \frac{\left( xb\right) ^{\prime }\left( x^{2}+b^{2}\right)
-xb\left( x^{2}+b^{2}\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+b^{2}\right) ^{2}}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{関数の商の微分} \\
&=&\left. \frac{b\left( x^{2}+b^{2}\right) -xb\left( 2x\right) }{\left(
x^{2}+b^{2}\right) ^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{b\left( a^{2}+b^{2}\right) -2a^{2}b}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{2}}
\\
&=&\frac{b^{3}-a^{2}b}{\left( a^{2}+b^{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(b\not=0\)を満たす点\(\left( a,b\right) \)において\(x\)に関して偏微分可能です。\(b=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}0\right\vert _{x=a}\quad \because b=0\text{と}f\text{の定義} \\
&=&\left. 0\right\vert _{x=a}\quad \because \text{定数関数の微分} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりますが\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h,b\right) -f\left( a,b\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{0-0}{h}\quad \because b=0\text{と}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりますが、これは有限な実数であるため\(f\)は\(b=0\)を満たす点\(\left( a,b\right) \)において\(y\)に関して偏微分可能です。以上の議論により、\(f\)は\(x\)に関して偏微分可能であり、偏導関数\(f_{x}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{y^{3}-x^{2}y}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & \left( if\
y\not=0\right) \\
0 & \left( if\ y=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。同様の議論により、\(f\)の\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在し、これはそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f_{y}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x^{3}-xy^{2}}{\left( x^{2}+y^{2}\right) ^{2}} & \left( if\
x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになります(演習問題にします)。

 

偏導関数の定義域

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)上の任意の点において変数\(x_{k}\)に関して偏微分可能であるとは限りません。変数\(x_{k}\)に関する偏導関数\(f_{x_{k}}\)はスカラー場\(f\)が\(x_{k}\)に関して偏微分可能な点においてのみ定義されます。

例(偏導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。ここで、\begin{equation}
\left\vert x-y\right\vert =\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}}=\left[ \left(
x-y\right) ^{2}\right] ^{\frac{1}{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}という変形が可能であることに注意してください。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
\frac{\partial f\left( a,b\right) }{\partial x} &=&\left. \frac{df\left(
x,b\right) }{dx}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{d\left\vert x-b\right\vert }{dx}\right\vert _{x=a}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d\left[ \left( x-b\right) ^{2}\right] ^{\frac{1}{2}}}{dx}\right\vert _{x=a}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left. \frac{1}{2}\left[ \left( x-b\right) ^{2}\right] ^{-\frac{1}{2}}\cdot 2\left( x-b\right) \cdot 1\right\vert _{x=a}\quad \because \text{連鎖公式} \\
&=&\left. \frac{x-b}{\left\vert x-b\right\vert }\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{a-b}{\left\vert a-b\right\vert }
\end{eqnarray*}となりますが、\(a\not=b\)を満たす\(\left( a,b\right) \)においてこれは有限な実数です。したがって\(f\)の\(x\)に関する偏導関数\(f_{x}\)の定義域は\(\mathbb{R} ^{2}\)ではなく、その部分集合である\begin{equation}
\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=y\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、\(f_{x}\)はこの定義域に属するそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して、\begin{equation*}
f_{x}\left( x,y\right) =\frac{x-y}{\left\vert x-y\right\vert }
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。同様の議論により、\(f\)の\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)の定義域も\(\left( 2\right) \)であり、\(f_{y}\)はこの定義域に属するそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して、\begin{equation*}
f_{y}\left( x,y\right) =\frac{y-x}{\left\vert x-y\right\vert }
\end{equation*}を定めることが明らかになります(演習問題にします)。

 

演習問題

問題(偏導関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)の変数\(x\)に関する偏導関数\(f_{x}\)と変数\(y\)に関する偏導関数\(f_{y}\)をそれぞれ求めてください。
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次回は勾配ベクトルについて学びます。

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