収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =c\boldsymbol{f}\left(
x\right)
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。
ベクトル値関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
したがって、何らかのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍の形をしているベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}\)の収束可能性を検討する際には、ベクトル値関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\boldsymbol{f}\)を分けた上で、\(\boldsymbol{f}\)が収束することを確認すればよいということになります。
命題（収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するものとします。関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =-\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}-\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則}
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(\boldsymbol{f}\)のスカラー倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}-\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則}
\end{eqnarray*}となります。
例（収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}x^{4} \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
a^{4} \\
\ln \left( a\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a^{4} \\
2\ln \left( a\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a^{4} \\
\ln \left( a^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x^{4} \\
2\ln \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}\left(
\begin{array}{c}
2x^{4} \\
2\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a^{4} \\
\ln \left( a^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となり、先と同じ結果が得られました。
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&2\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}x^{4} \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&2\left(
\begin{array}{c}
a^{4} \\
\ln \left( a\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a^{4} \\
2\ln \left( a\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a^{4} \\
\ln \left( a^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&2\left(
\begin{array}{c}
x^{4} \\
\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2x^{4} \\
2\ln \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}\left(
\begin{array}{c}
2x^{4} \\
2\ln \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2a^{4} \\
\ln \left( a^{2}\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となり、先と同じ結果が得られました。
片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限
片側極限についても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
命題（片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。以下が成り立つ。
- 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束するならば、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(c\boldsymbol{f}\)もまた右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)=c\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。 - 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であるものとする。\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が左側収束するならば、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(c\boldsymbol{f}\)もまた左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)=c\lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（片側収束するベクトル値関数のスカラー倍の片側極限）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の左側の端点\(0\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0+}-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、定義域の右側の端点\(\pi \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}\boldsymbol{f}\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow \pi -}\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の左側の端点\(0\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0+}-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、定義域の右側の端点\(\pi \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}\boldsymbol{f}\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow \pi -}\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限
無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
命題（無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。以下が成り立つ。
- 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するならば、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(c\boldsymbol{f}\)もまた収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するならば、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(c\boldsymbol{f}\)もまた収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（無限大において収束するベクトル値関数のスカラー倍の極限）
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ -\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right) \right] \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ -\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right) \right] \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&-\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right) \quad \because \text{スカラー倍の法則} \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right)
\end{array}\right) \\
&=&-\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
問題（ベクトル値関数のスカラー倍の極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の命題を証明する際にベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係を利用しましたが、同じ命題を、イプシロン・デルタ論法を用いて改めて証明してください。
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の命題を証明する際にベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係を利用しましたが、同じ命題を、イプシロン・デルタ論法を用いて改めて証明してください。
問題（ベクトル値関数のスカラー倍の極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)からベクトル値関数\(c\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するならば、\(c\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\boldsymbol{f}\right) \left( x\right)
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の命題を証明する際にベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係を利用しましたが、同じ命題を、点列を用いて改めて証明してください。
=c\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の命題を証明する際にベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係を利用しましたが、同じ命題を、点列を用いて改めて証明してください。
問題（点において収束するベクトル値関数のスカラー商の極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するならば、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するならば、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題（点において片側収束するベクトル値関数のスカラー商の片側極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束するならば、\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right)
=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。また、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束するならば、\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right)
=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束するならば、\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right)
=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。また、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束するならば、\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right)
=\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
問題（無限大において収束するベクトル値関数のスカラー商の極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\boldsymbol{f}\left( x\right) }{c}
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。関数\(\boldsymbol{f}\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に収束するならば、\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left(
x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left(
x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。また、関数\(\boldsymbol{f}\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に収束するならば、\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left(
x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left(
x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\begin{equation*}
\frac{\boldsymbol{f}}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。関数\(\boldsymbol{f}\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に収束するならば、\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left(
x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left(
x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。また、関数\(\boldsymbol{f}\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に収束するならば、\(\frac{\boldsymbol{f}}{c}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{\boldsymbol{f}}{c}\right) \left(
x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left(
x\right) }{c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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