1変数関数とベクトル値関数の合成関数の点における極限
1変数関数とベクトル値関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(f\)の値域が\(\boldsymbol{g}\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つということです。この場合には合成関数\begin{equation*}
\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{g}\left(
f\left( x\right) \right) \quad \because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f\left( x\right) \right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義}
\end{eqnarray*}を像として定めます。
関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、その極限がベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)の定義域\(Y\)上の点であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in Y
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)は\(x\rightarrow b\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するとともに、その極限が\(\boldsymbol{g}\left( b\right) \)と一致するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left(
b\right)
\end{equation*}が成り立つということです（このとき、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)は点\(b\)において連続である（continuous）と言います）。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となることが保証されます。
つまり、\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数\(b\)へ収束する1変数関数\(f\)と点\(b\)において連続なベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)が与えられたとき、それらの合成関数であるベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合にあるベクトルへ収束することが保証されるとともに、その極限は\(\boldsymbol{g}\left( b\right) =\boldsymbol{g}\left(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)と一致することを上の命題は保証しています。したがって、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)の収束可能性を判定する際には、まずは\(f\)と\(\boldsymbol{g}\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。
命題（1変数関数とベクトル値関数の合成関数の点における極限）
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}となる。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}となる。
例（合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( x\right) -\sin \left( x\right) \\
\sin \left( x\right) +1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数である正弦関数\(\sin \left( x\right) \)とベクトル値関数\(\left(x^{2}-x,x+1\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、正弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\sin \left( x\right) =\sin \left( a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。関数\(\left(x^{2}-x,x+1\right) \)は多項式関数を成分関数として持つベクトル値関数であるため点\(\sin \left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x^{2}-x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x+1\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) \\
\sin \left( a\right) +1\end{array}\right) \quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) \\
\sin \left( a\right) +1\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（関数\(\left( x^{2}-x,x+1\right) \)は点\(\sin \left( a\right) \)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( x\right) -\sin \left( x\right) \\
\sin \left( x\right) +1\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) \\
\sin \left( a\right) +1\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( x\right) -\sin \left( x\right) \\
\sin \left( x\right) +1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数である正弦関数\(\sin \left( x\right) \)とベクトル値関数\(\left(x^{2}-x,x+1\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、正弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\sin \left( x\right) =\sin \left( a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。関数\(\left(x^{2}-x,x+1\right) \)は多項式関数を成分関数として持つベクトル値関数であるため点\(\sin \left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x^{2}-x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x+1\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) \\
\sin \left( a\right) +1\end{array}\right) \quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) \\
\sin \left( a\right) +1\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（関数\(\left( x^{2}-x,x+1\right) \)は点\(\sin \left( a\right) \)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( x\right) -\sin \left( x\right) \\
\sin \left( x\right) +1\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) \\
\sin \left( a\right) +1\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
例（合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数である絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)とベクトル値関数\(\left( \cos\left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\)を任意に選んだとき、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。関数\(\left( \cos \left(x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は余弦関数と正弦関数を成分関数として持つベクトル値関数であるため点\(\left\vert a\right\vert \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\cos \left( x\right) \\
\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert a\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert a\right\vert \right)
\end{array}\right) \quad \because \text{余弦関数と正弦関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert a\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert a\right\vert \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は点\(\left\vert a\right\vert \)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert a\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert a\right\vert \right)
\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数である絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)とベクトル値関数\(\left( \cos\left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\)を任意に選んだとき、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。関数\(\left( \cos \left(x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は余弦関数と正弦関数を成分関数として持つベクトル値関数であるため点\(\left\vert a\right\vert \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\cos \left( x\right) \\
\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert a\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert a\right\vert \right)
\end{array}\right) \quad \because \text{余弦関数と正弦関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert a\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert a\right\vert \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は点\(\left\vert a\right\vert \)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert x\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{array}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \left\vert a\right\vert \right) \\
\sin \left( \left\vert a\right\vert \right)
\end{array}\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
先の命題が要求する条件の吟味
合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)の極限に関する先の命題では2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}を要求しています。特に、条件\(\left( b\right) \)は、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)が点\(b\)において連続であることを要求していますが、この条件は必須なのでしょうか。ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)が点\(b\)において連続ではない場合においても、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束する状況は起こり得ますが、そこでの極限は\(\boldsymbol{g}\left( b\right) \)と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
例（合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定め、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{g}\left(
f\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\boldsymbol{g}\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は関数\(\boldsymbol{g}\)と一致します。以上を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(0\)について、関数\(\boldsymbol{g}\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{g}\left( 0\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\boldsymbol{g}\)は点\(0\)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{g}\left( x\right) \quad \because
\boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim_{x\rightarrow 0}0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{g}\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) &=&\boldsymbol{g}\left( 0\right) \quad \because \lim_{x\rightarrow 0}f\left(
x\right) =0 \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
\not=\boldsymbol{g}\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。
\end{equation*}を定め、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) &=&\boldsymbol{g}\left(
f\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\boldsymbol{g}\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は関数\(\boldsymbol{g}\)と一致します。以上を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(0\)について、関数\(\boldsymbol{g}\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{g}\left( 0\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\boldsymbol{g}\)は点\(0\)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{g}\left( x\right) \quad \because
\boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim_{x\rightarrow 0}0 \\
\lim_{x\rightarrow 0}0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{g}\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) &=&\boldsymbol{g}\left( 0\right) \quad \because \lim_{x\rightarrow 0}f\left(
x\right) =0 \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
\not=\boldsymbol{g}\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。
先の命題は合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するための条件を明らかにしています。では、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が収束しない場合や、\(x\rightarrow b\ \left(=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)の場合に\(\boldsymbol{g}\)が収束しない場合などには、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束しないとまで言えるのでしょうか。この主張は誤りです。
まずは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束しないにも関わらず、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束する例を挙げます。
例（合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x>0\right) \\
1 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が定義可能であるため、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しないからです。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\boldsymbol{g}\left( y\right) \quad \because
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0 \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1}\boldsymbol{g}\left( y\right) \quad \because
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =1 \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。ちなみに、\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( 0\right) &=&\boldsymbol{g}\left(
f\left( 0\right) \right) \quad \because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\boldsymbol{g}\left( 1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
=\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( 0\right)
\end{equation*}もまた成立しています。
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x>0\right) \\
1 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が定義可能であるため、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束しないからです。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\boldsymbol{g}\left( y\right) \quad \because
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0 \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1}\boldsymbol{g}\left( y\right) \quad \because
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =1 \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。ちなみに、\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( 0\right) &=&\boldsymbol{g}\left(
f\left( 0\right) \right) \quad \because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\boldsymbol{g}\left( 1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
=\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( 0\right)
\end{equation*}もまた成立しています。
続いて、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)が\(x\rightarrow b\ \left(=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)の場合に収束しないにも関わらず、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束する例を挙げます。
例（合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1-x^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x+1\end{array}\right) & \left( if\ x>1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x=1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x-1 \\
x-1\end{array}\right) & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1-x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}1-\left( \lim_{x\rightarrow 0}x\right) ^{2}\quad
\because \text{多項式関数の極限} \\
&=&1-0^{2}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(1\)について、関数\(\boldsymbol{g}\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
2\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1-}\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(\boldsymbol{g}\)は\(x\rightarrow 1\)の場合に\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点へ収束しないからです。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}\boldsymbol{g}\left( y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}\left(
\begin{array}{c}
y-1 \\
y-1\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1-1 \\
1-1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定め、関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
x+1 \\
x+1\end{array}\right) & \left( if\ x>1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x \\
x\end{array}\right) & \left( if\ x=1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x-1 \\
x-1\end{array}\right) & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1-x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}1-\left( \lim_{x\rightarrow 0}x\right) ^{2}\quad
\because \text{多項式関数の極限} \\
&=&1-0^{2}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(1\)について、関数\(\boldsymbol{g}\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
2\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1-}\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(\boldsymbol{g}\)は\(x\rightarrow 1\)の場合に\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点へ収束しないからです。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{g}\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because \boldsymbol{g}\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}\boldsymbol{g}\left( y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}\left(
\begin{array}{c}
y-1 \\
y-1\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1-1 \\
1-1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となります。
1変数関数とベクトル値関数の合成関数の無限大における極限
合成関数の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
命題（1変数関数とベクトル値関数の合成関数の無限大における極限）
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a_{1}\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}となる。
&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}となる。
合成関数と無限極限
合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)を構成する2つの関数\(f,\boldsymbol{g}\)がともに収束する場合における\(\boldsymbol{g}\circ f\)の極限について考察してきましたが、\(f\)が発散する場合、\(\boldsymbol{g}\circ f\)の極限に関して何らかのことを言えるのでしょうか。
関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に無限大へ発散する一方でベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)が無限大においてベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束する場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{b}\)へ収束します。
命題（合成関数と無限極限）
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a_{1}\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty \\
&&\left( b_{1}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty \\
&&\left( b_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。
&&\left( b_{1}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty \\
&&\left( b_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。
関数\(f\)が無限大において無限大へ発散する一方で関数\(\boldsymbol{g}\)が無限大においてベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束する場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた無限大において\(\boldsymbol{b}\)へ収束します。
命題（合成関数と無限極限）
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a_{1}\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
=+\infty \\
&&\left( b_{1}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
=-\infty \\
&&\left( b_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{3}\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
=+\infty \\
&&\left( b_{3}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{4}\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
=-\infty \\
&&\left( b_{4}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。
=+\infty \\
&&\left( b_{1}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{2}\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
=-\infty \\
&&\left( b_{2}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{3}\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
=+\infty \\
&&\left( b_{3}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。また、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a_{4}\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
=-\infty \\
&&\left( b_{4}\right) \ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left(
x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}となる。
演習問題
問題（合成関数の極限）
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間に\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in Y \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}となります。本文中では、以上の命題をベクトル値関数の極限とその成分関数の極限の関係を用いることにより証明しましたが、イプシロン・デルタ論法を用いて同様の主張を改めて証明してください。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(\boldsymbol{g}\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{g}\circ f\right) \left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( b\right)
\end{equation*}となります。本文中では、以上の命題をベクトル値関数の極限とその成分関数の極限の関係を用いることにより証明しましたが、イプシロン・デルタ論法を用いて同様の主張を改めて証明してください。
問題（合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定め、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
\end{equation*}を定め、ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- 合成関数の極限公式を用いた上で、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の\(x\rightarrow 2\)の場合の極限を求めてください。
- 合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を特定した上で、\(x\rightarrow 2\)の場合の極限を求めてください。
- 問1と問2の結果が一致することを確認してください。
問題（合成関数の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は収束しません。その一方で、何らかのベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を選べば、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(x\rightarrow 0\)の場合に収束する事態は起こり得るでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は収束しません。その一方で、何らかのベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を選べば、合成関数\(\boldsymbol{g}\circ f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が\(x\rightarrow 0\)の場合に収束する事態は起こり得るでしょうか。議論してください。
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