ベクトル値関数のノルムの極限
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( x\right) =\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}を値として定める1変数関数\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点に収束するならば、関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点に収束するとともに、両者の極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( a\right)
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。
命題（ベクトル値関数のノルムの極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、そこから関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( a\right)
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。
例（点において収束する曲線のノルムの極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert
\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\Vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\Vert \quad \because \text{ノルムの法則} \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x^{2}-x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x+1\right)
\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
a^{2}-a \\
a+1\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( a^{2}-a\right) ^{2}+\left( a+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。他方で、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{\left(
x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x+1\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( a^{2}-a\right) ^{2}+\left( a+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と一致します。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert
\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\Vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\Vert \quad \because \text{ノルムの法則} \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x^{2}-x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}\left( x+1\right)
\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
a^{2}-a \\
a+1\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( a^{2}-a\right) ^{2}+\left( a+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。他方で、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{\left(
x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x+1\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left( a^{2}-a\right) ^{2}+\left( a+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と一致します。
例（点において収束する曲線のノルムの極限）
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\Vert f\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ノルムの定義より、それぞれの\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) &=&\sqrt{f\left( x\right) \cdot
f\left( x\right) } \\
&=&\left\vert f\left( x\right) \right\vert \\
&=&\left\vert f\right\vert \left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation}
\left\Vert f\right\Vert =\left\vert f\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。つまり、1変数関数\(f\)に関しては、そのノルム関数\(\left\Vert f\right\Vert \)と絶対値関数\(\left\vert f\right\vert \)が一致します。定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) =\left\Vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立ちますが、これは絶対値の法則に他なりません。つまり、ノルムの法則は絶対値の法則の一般化です。
f\left( x\right) } \\
&=&\left\vert f\left( x\right) \right\vert \\
&=&\left\vert f\right\vert \left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation}
\left\Vert f\right\Vert =\left\vert f\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。つまり、1変数関数\(f\)に関しては、そのノルム関数\(\left\Vert f\right\Vert \)と絶対値関数\(\left\vert f\right\vert \)が一致します。定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert f\right\Vert \left( x\right) =\left\Vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立ちますが、これは絶対値の法則に他なりません。つまり、ノルムの法則は絶対値の法則の一般化です。
ベクトル値関数のノルムの片側極限
片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（ベクトル値関数のノルムの片側極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、そこから関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
- 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるものとする。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束するならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( a\right)=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。 - 点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であるものとする。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束するならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( a\right)=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。
ベクトル値関数のノルムの無限大における極限
無限大における極限に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（ベクトル値関数のノルムの無限大における極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、そこから関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。以下が成り立つ。
- 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に収束するならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left(
a\right) =\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left(
x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の条件\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に収束するならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left(
a\right) =\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left(
x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。
例（ベクトル値関数のノルムの無限大における極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \right\Vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \right\Vert \quad \because \text{ノルムの法則} \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+0^{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}他方で、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( \frac{1}{x}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{x}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{2}{x^{2}}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{\frac{2}{x^{2}}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と一致します。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \right\Vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \right\Vert \quad \because \text{ノルムの法則} \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{x} \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+0^{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}他方で、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( \frac{1}{x}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{x}\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\frac{2}{x^{2}}}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{\frac{2}{x^{2}}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と一致します。
演習問題
問題（ベクトル値関数のノルムの極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( a\right)
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では、ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係を利用して先の命題を証明しましたが、同様の命題を、イプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では、ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係を利用して先の命題を証明しましたが、同様の命題を、イプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
問題（ベクトル値関数のノルムの極限）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \left( a\right)
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では、ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係を利用して先の命題を証明しましたが、同様の命題を、点列を用いて証明してください。
=\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では、ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係を利用して先の命題を証明しましたが、同様の命題を、点列を用いて証明してください。
問題（ノルムの法則の逆）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するならば、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に収束します。では、逆の主張もまた成り立つでしょうか。つまり、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\right\Vert \)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するならば、\(\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に収束するでしょうか。主張が成り立つ場合には証明を行い、成り立たない場合には反例を提示してください。
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