余弦関数（cos関数）の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\sin \left( a\right)
\end{equation*}となる。

余弦関数は全区間上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \)の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、余弦関数の導関数は正弦関数の\(-1\)倍と一致します。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の積として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( x^{2}\cos \left( x\right) \right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( x^{2}\right) ^{\prime }\cos \left( x\right) +x^{2}\left( \cos
\left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の積} \\
&=&2x\cos \left( x\right) +x^{2}\left( -\sin \left( x\right) \right) \quad
\because \text{多項式関数および余弦関数の微分} \\
&=&2x\cos \left( x\right) -x^{2}\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cos \left( x\right) }{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の商として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \frac{\cos \left( x\right) }{x^{2}+1}\right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( \cos \left( x\right) \right) ^{\prime }\left( x^{2}+1\right)
-\cos \left( x\right) \left( x^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{微分可能な関数の商} \\
&=&\frac{-\sin \left( x\right) \cdot \left( x^{2}+1\right) -\cos \left(
x\right) \cdot 2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{多項式関数および正弦関数の微分} \\
&=&\frac{-x^{2}\sin \left( x\right) -\sin \left( x\right) -2x\cos \left(
x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x^{3}-3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{3}-3\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \cos \left( x^{3}-3\right) \right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( \cos \left( y\right) \right) ^{\prime }\right\vert
_{y=x^{3}-3}\cdot \left( x^{3}-3\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -\sin \left( y\right) \right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot \left(
3x^{2}\right) \quad \because \text{多項式関数および余弦関数の微分} \\
&=&-\sin \left( x^{3}-3\right) \cdot \left( 3x^{2}\right) \\
&=&-3x^{2}\sin \left( x^{3}-3\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{1}{x^{2}+1}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ \cos \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) \right] ^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( \cos \left( y\right) \right) ^{\prime }\right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) ^{\prime }\quad
\because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -\sin \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \left[ \frac{\left( 1\right) ^{\prime }\left( x^{2}+1\right) -1\left(
x^{2}+1\right) ^{\prime }}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\right] \quad \because
\text{有理関数および余弦関数の微分} \\
&=&-\sin \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) \cdot \left[ \frac{-2x}{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}}\right] \\
&=&\frac{2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\sin \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( e^{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は自然指数関数\(e^{x}\)と余弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left( \cos \left( e^{x}\right) \right)
^{\prime }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \left( \cos \left( y\right) \right) ^{\prime }\right\vert
_{y=e^{x}}\cdot \left( e^{x}\right) ^{\prime }\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. -\sin \left( y\right) \right\vert _{y=e^{x}}\cdot e^{x}\quad
\because \text{自然指数関数および余弦関数の微分} \\
&=&-\sin \left( e^{x}\right) \cdot e^{x} \\
&=&-e^{x}\sin \left( e^{x}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-\sin \left( a\right)
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-\sin \left( a\right)
\end{equation*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2\cos \left( x\right) +1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(a\in \left(0,\pi \right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため点\(a\)において微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&2\cdot \left. \left[ \cos \left( x\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{x=a}+\left. \left( 1\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&-2\sin \left( a\right) +0\because \text{余弦関数および定数関数の微分} \\
&=&-2\sin \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(\pi \)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため点\(0\)において右側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&2\cdot \left. \left[ \cos \left( x\right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}+\left. \left( 1\right) _{+}^{\prime
}\right\vert _{x=0}\quad \because \text{右側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&-2\sin \left( 0\right) +0\quad \because \text{正弦関数および定数関数の右側微分} \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\(f\)は点\(\pi \)以下の周辺の任意の点において定義されているため点\(\pi \)において左側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&2\cdot \left. \left[ \cos \left(
x\right) \right] _{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }+\left. \left( 1\right)
_{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }\quad \because \text{左側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&-2\sin \left( \pi \right) +0\quad \because \text{正弦関数および定数関数の左側微分} \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }\supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x^{2}+3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos ^{3}\left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\cos ^{3}\left( 2x^{4}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2\cos \left( 3x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{3}-\cos \left( 6x^{2}\right) \right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。