自然対数関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{a}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めます（演習問題）。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)と恒等関数\(x\)の商として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{\ln \left( x\right) }{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left[ \frac{d}{dx}\ln \left( x\right) \right] \cdot x-\ln \left(
x\right) \cdot \frac{d}{dx}x}{x^{2}}\quad \because \text{商の微分法則} \\
&=&\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln \left( x\right) \cdot 1}{x^{2}} \\
&=&\frac{1-\ln \left( x\right) }{x^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\ln \left( x\right) -x
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は微分可能な関数\(x,\ln \left( x\right) ,x\)どうしの積および差であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ x\ln \left( x\right) -x\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}x\ln \left( x\right) -\frac{d}{dx}x\quad \because \text{差の微分法則} \\
&=&\left( \frac{d}{dx}x\right) \cdot \ln \left( x\right) +x\cdot \frac{d}{dx}\ln \left( x\right) -1\quad \because \text{積の微分法則} \\
&=&1\cdot \ln \left( x\right) +x\cdot \frac{1}{x}-1 \\
&=&\ln \left( x\right) +1-1 \\
&=&\ln \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\ln \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能な関数\(x,\ln \left( x\right) ,\frac{1}{x}\)どうしの積および合成関数であるため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}x\ln \left( \frac{1}{x}\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{d}{dx}x\right) \cdot \ln \left( \frac{1}{x}\right) +x\cdot
\frac{d}{dx}\ln \left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{積の微分法則} \\
&=&1\cdot \ln \left( \frac{1}{x}\right) +x\cdot \frac{d}{dx}\ln \left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&\ln \left( \frac{1}{x}\right) +x\left[ \left. \frac{d}{dy}\ln \left(
y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x}}\cdot \frac{d}{dx}\frac{1}{x}\right] \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\ln \left( \frac{1}{x}\right) +x\left[ \left. \frac{1}{y}\right\vert _{y=\frac{1}{x}}\cdot \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \\
&=&\ln \left( \frac{1}{x}\right) +x\left[ \left( x\cdot \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \right) \right] \\
&=&\ln \left( \frac{1}{x}\right) -1
\end{eqnarray*}を定めます。

海抜\(0\)メートルの場所から飛行機が離陸してから\(x\)分後に到達する高度（フィート）が、\begin{equation*}f\left( x\right) =2000\cdot \ln \left( x+1\right)
\end{equation*}であるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

初期時点（\(x=0\)）の高度に関して、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&2000\cdot \ln \left( 0+1\right) \\
&=&2000\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成立しています。\(f\)は微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x>0\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ 2000\cdot \ln \left(
x+1\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&2000\cdot \frac{d}{dx}\ln \left( x+1\right) \\
&=&2000\cdot \left. \frac{d}{dy}\ln \left( y\right) \right\vert
_{y=x+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( x+1\right) \\
&=&2000\cdot \frac{1}{x+1}\cdot 1 \\
&=&\frac{2000}{x+1}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、離陸から\(x\)分後の時点における瞬間的な上昇速度（垂直速度）は\(\frac{2000}{x+1}\)フィートです。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{1}{a}\end{equation*}が成り立つ。したがって、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{1}{a}\end{equation*}が成り立つ。したがって、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
   \end{equation*}を定める。

海抜\(0\)メートルの場所から飛行機が離陸してから\(x\)分後に到達する高度（フィート）が、\begin{equation*}f\left( x\right) =2000\cdot \ln \left( x+1\right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(x=0\)における高度は、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&2000\cdot \ln \left( 0+1\right) \\
&=&2000\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、時点\(x=0\)における瞬間的な上昇速度（垂直速度）は、\begin{eqnarray*}f_{+}^{\prime }\left( 0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}f\left( x\right)
\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dx}\left[ 2000\cdot \ln \left( x+1\right) \right] \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left[ 2000\cdot \ln \left( x+1\right) \right] \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \left[ 2000\cdot \frac{d}{dx}\ln \left( x+1\right) \right] \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \left[ 2000\cdot \left. \frac{d}{dy}\ln \left( y\right)
\right\vert _{y=x+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( x+1\right) \right] \right\vert
_{x=0} \\
&=&\left. \left( 2000\cdot \frac{1}{x+1}\cdot 1\right) \right\vert _{x=0} \\
&=&2000
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めることを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\ln \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \ln \left( x\right) \right] ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( \left( 1-2x\right) ^{3}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( 1+x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(x=0\)における\(f\left( x\right) \)の1次の線型近似式を求めてください。
2. 問1の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}\ln \left( 1.05\right)
   \end{equation*}の近似値を求めてください。