連続な多変数関数による弧状連結集合の像
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合\(X\)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域\(X\)上において連続である場合、\(f\)による\(X\)の像、すなわち\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上の連結集合になることが明らかになりました。この命題において「連結集合」を「弧状連結集合」に置き換えることにより得られる主張もまた成り立ちます。つまり、連続関数による弧状連結集合の像は弧状連結です。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の弧状連結集合である。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は原点\(\left( 0,1\right) \)が中心で半径が\(1\)であるような円盤あるため、\(X\)の任意の2つの点を\(X\)内の線分で結べます。したがって\(X\)は弧状連結です。また、\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(X\)上で連続です。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}ですが、区間は\(\mathbb{R} \)上の弧状連結集合であるため\(f\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の弧状連結集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
弧状連結集合の連続逆像
連続な多変数関数による連結集合の像は連結集合になることが明らかになりました。では、連続な多変数関数による連結集合の逆像は連結集合になることは保証されるのでしょうか。順番に検証します。
連結集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)上の連結集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上の連結集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続です。以下の集合\begin{equation*}Y=\left( 1,4\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。区間は弧状連結集合であるため\(Y\)は\(\mathbb{R} \)上の弧状連結集合です。その一方で、\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の弧状連結集合ではありません（演習問題）。
連続な多変数値関数による弧状連結集合の逆像は弧状連結集合になるとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとでは、連続な多変数関数による弧状連結集合の逆像が弧状連結集合になることを保証できるのでしょうか。
弧状連結集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)が単射である場合、その終集合を値域に制限して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow f\left( X\right)
\end{equation*}とすれば\(f\)は全単射になるため、その逆写像である1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f^{-1}:\mathbb{R} \supset f\left( X\right) \rightarrow X
\end{equation*}が存在することが保証されます。さらに\(f^{-1}\)が\(f\left( X\right) \)上において連続である場合、\(f\left(X\right) \)上の弧状連結集合\(Y\)を任意に選べば、\(f^{-1}\)による\(Y\)の像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ y\in f\left( X\right) \ |\ f^{-1}\left(
y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上の弧状連結集合になります。逆写像\(f^{-1}\)による\(Y\)の像は、もとの写像\(f\)による\(Y\)の逆像と一致するため、\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(f\)による\(Y\)の逆像でもあります。
\end{equation*}は\(X\)上の弧状連結集合である。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は放物線であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の弧状連結集合です。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため\(X\)上で連続です。したがって、\(f\)による\(X\)の像は\(\mathbb{R} \)上の弧状連結集合です。実際、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\wedge y=x^{2}\right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}ですが、\(\mathbb{R} \)は弧状連結集合です。\(f\)は\(X\)上で単射であり、逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow X\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、先の命題より、\(f\left(X\right) \)すなわち\(\mathbb{R} \)上の弧状連結集合\(Y\)を任意に選んだとき、\(f\)による\(Y\)の逆像は\(X\)上の弧状連結集合です（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による以下の集合\begin{equation*}Y=\left( 1,4\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上の弧状連結集合ではないことを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は放物線であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の弧状連結集合です。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため\(X\)上で連続です。したがって、\(f\)による\(X\)の像は\(\mathbb{R} \)上の弧状連結集合です。本文中の議論より、\begin{equation*}f\left( X\right) =\mathbb{R} \end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- \(f\)が\(X\)上で単射であることを示してください。
- 逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow X\)を具体的に求めた上で、それが\(\mathbb{R} \)上で連続であることを示してください。
- 以下の集合\begin{equation*}Y=\left[ 0,2\right] \end{equation*}に注目します。\(f\)による\(Y\)の逆像を具体的に特定した上で、それが\(X\)上の弧状連結集合であることを示してください。
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