数列の集積点
実数空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} \)の点からなる集合を、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}で表記し、これを点\(a\)の近傍と呼びます。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\)を中心とする任意の近傍が\(\left\{ x_{n}\right\} \)に属する無限個の実数を要素として持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \text{は}\left\{ x_{n}\right\} \text{に属する無限個の実数を要素として持つ}
\end{equation*}が成り立つ場合には、このような点\(a\)を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点（accumulation point）と呼びます。
例（数列の集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}であるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) =\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\end{equation*}に注目します。十分大きい\(N\in \mathbb{N} \)のもとでは、\begin{equation*}-\varepsilon <\frac{1}{N}<\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{N}\in N_{\varepsilon }\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(N\)より大きい自然数\(n\in \mathbb{N} \)は無限に存在するとともに、そのような任意の\(n\)について、\begin{equation*}x_{n}\in N_{\varepsilon }\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(0\)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点であることが明らかになりました。
\end{equation*}であるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) =\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\end{equation*}に注目します。十分大きい\(N\in \mathbb{N} \)のもとでは、\begin{equation*}-\varepsilon <\frac{1}{N}<\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{N}\in N_{\varepsilon }\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(N\)より大きい自然数\(n\in \mathbb{N} \)は無限に存在するとともに、そのような任意の\(n\)について、\begin{equation*}x_{n}\in N_{\varepsilon }\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(0\)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点であることが明らかになりました。
部分列を用いた集積点の特徴づけ
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点であることと、\(a\)へ収束する\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列が存在することは必要十分です。
命題（部分列を用いた集積点の特徴づけ）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点であることと、\(a\)へ収束する\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列が存在することは必要十分である。
例（部分列を用いた集積点の特徴づけ）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、点\(0\)はこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。同じことを先の命題を用いて示します。具体的には、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2n}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{2n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{2n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より点\(0\)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。
\end{equation*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、点\(0\)はこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。同じことを先の命題を用いて示します。具体的には、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2n}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{2n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{2n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より点\(0\)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。
数列の極限と集積点の違い
数列の極限は唯一の集積点です。
命題（数列の極限は唯一の集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)へ収束する場合、\(a\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の唯一の集積点である。
例（数列の極限は集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、点\(0\)はこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。同じことを先の命題を用いて示します。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}
\\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(0\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。
\end{equation*}であるものとします。先に例を通じて確認したように、点\(0\)はこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。同じことを先の命題を用いて示します。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}
\\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(0\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。
先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、数列の集積点は極限と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
例（極限ではない集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}であるものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動するため収束せず、ゆえに極限が存在しません。その一方で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2n}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{2n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
-1\right) ^{2n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\(1\)は\(\left\{x_{n}\right\} \)の集積点です。また、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2n-1}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{2n-1} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
-1\right) ^{2n-1} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であるため、\(-1\)は\(\left\{x_{n}\right\} \)の集積点です。以上より、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限を持たない一方で2つの集積点\(1,-1\)を持つことが明らかになりました。
\end{equation*}であるものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動するため収束せず、ゆえに極限が存在しません。その一方で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2n}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{2n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
-1\right) ^{2n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\(1\)は\(\left\{x_{n}\right\} \)の集積点です。また、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2n-1}\right\} \)に注目した場合、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{2n-1} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left(
-1\right) ^{2n-1} \\
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であるため、\(-1\)は\(\left\{x_{n}\right\} \)の集積点です。以上より、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限を持たない一方で2つの集積点\(1,-1\)を持つことが明らかになりました。
有界な数列は集積点を持つ
数列は集積点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
例（集積点を持たない数列）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}であるものとします。この数列は正の無限大へ発散するため収束しません。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を任意に選ぶと、その一般項は、\begin{equation*}x_{l\left( n\right) }=l\left( n\right)
\end{equation*}となりますが、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義単調増加関数であるためこの部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{ l\left( n\right)\right\} \)もまた正の無限大へ発散します。任意の部分列について同様であるため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する部分列を持たないことが明らかになりました。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)は集積点を持ちません。
\end{equation*}であるものとします。この数列は正の無限大へ発散するため収束しません。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)を任意に選ぶと、その一般項は、\begin{equation*}x_{l\left( n\right) }=l\left( n\right)
\end{equation*}となりますが、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義単調増加関数であるためこの部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} =\left\{ l\left( n\right)\right\} \)もまた正の無限大へ発散します。任意の部分列について同様であるため、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する部分列を持たないことが明らかになりました。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)は集積点を持ちません。
数列が有界ならば、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より、その数列は収束する部分列を持ちます。したがって有界な数列は集積点を持ちます。
命題（有界な数列は集積点を持つ）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であるならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点が存在する。
例（有界な数列は集積点を持つ）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}であるものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動するため収束せず、ゆえに極限が存在しません。その一方で、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界であり、ゆえに先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点が存在します。実際、先に例を通じて確認したように\(1\)と\(-1\)は\(\left\{x_{n}\right\} \)の集積点です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}であるものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動するため収束せず、ゆえに極限が存在しません。その一方で、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界であり、ゆえに先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点が存在します。実際、先に例を通じて確認したように\(1\)と\(-1\)は\(\left\{x_{n}\right\} \)の集積点です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（有界な数列は集積点を持つ）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。収束する数列は有界であるため、先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は集積点を持ちます。実際、先に明らかになったように、数列の極限は唯一の集積点でもあるため、\(a\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の唯一の集積点です。
無限大へ発散する数列は集積点を持たない
正の無限大や負の無限大へ発散する数列は集積点を持ちません。
命題（無限大へ発散する数列は集積点を持たない）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大または負の無限大へ発散する場合には、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は集積点を持たない。
例（無限大へ発散する数列は集積点を持たない）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}であるものとします。その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点は存在しません。実際、先に例を通じて確認したように\(\left\{x_{n}\right\} \)の集積点は存在しません。
\end{equation*}であるものとします。その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点は存在しません。実際、先に例を通じて確認したように\(\left\{x_{n}\right\} \)の集積点は存在しません。
無限大へ発散する数列は集積点を持たないことが明らかになりました。一方、振動する数列は集積点を持ち得ます。以下の例より明らかです。
例（振動する数列の集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}であるものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動するため収束せず、ゆえに極限が存在しません。その一方で、先に例を通じて確認したように\(1\)と\(-1\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。
\end{equation*}であるものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は振動するため収束せず、ゆえに極限が存在しません。その一方で、先に例を通じて確認したように\(1\)と\(-1\)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点です。
演習問題
問題（数列の極限と集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
\frac{n}{2} & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と集積点を求めてください。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
\frac{n}{2} & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と集積点を求めてください。
問題（数列の極限と集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と集積点を求めてください。
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
\frac{1}{n} & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と集積点を求めてください。
問題（数列の極限と集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+1}{n}
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点をすべて求めてください。
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点をすべて求めてください。
問題（数列の極限と集積点）
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
n^{2} & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点をすべて求めてください。
\begin{array}{cc}
n & \left( if\ n\text{が奇数}\right) \\
n^{2} & \left( if\ n\text{が偶数}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の集積点をすべて求めてください。
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