多変数関数のグラフ

多変数関数のグラフ

始集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合が実数空間\(\mathbb{R} \)であるような多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。それに対して、以下の命題\begin{equation*}
y=f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が真になるようなベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \)をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{eqnarray*}G\left( f\right) &=&\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n},y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(f\)のグラフ（graph）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset X\times \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow
y=f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)が多変数関数\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)がベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対して定める実数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(y\)と一致することは必要十分です。

例（多変数関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、

例（多変数関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z=x^{2}+y^{2}\right\}
\end{equation*}であり、これは下図の点集合として描かれます。

例（多変数関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z=x^{2}-y^{2}\right\}
\end{equation*}であり、これは下図の点集合として描かれます。

直積の部分集合としての多変数関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。関数\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(\boldsymbol{x}\in X\)に対してその像\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めますが、以上の事実は、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\left( f\right) \)を満たす実数\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ存在することを意味します。

逆に、直積\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が以下の性質\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、集合\(X\)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\)を満たすような実数\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ存在するということです。したがってこの場合、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\)を満たすような実数\(y\)を\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)として定める多変数関数\(f:X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、なおかつ、このように定義された\(f\)のグラフは\(G\)と一致します。

以上の2つの命題より、以下の概念の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、これらの概念は実質的に等しく、互いに交換可能です。

1. 多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)
2. 多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフ\(G\left( f\right) \)
3. 以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G
   \end{equation*}を満たす集合\(G\subset X\times \mathbb{R} \)

例（多変数関数のグラフ）

直積\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(G\)が下図のような厚みを持たない面として与えられているものとします。面は厚みを持たないため、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して\(\left( x,y,z\right) \in G\)を満たす\(z\in \mathbb{R} \)は1つずつ存在するため、先の命題より、これは何らかの関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフです。

逆に、\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(G\)が厚みを持つ点集合である場合には、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して\(\left( x,y,z\right) \in G\)を満たす\(z\in \mathbb{R} \)は一意的に定まらないため、先の命題より、そのような\(G\)をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。

演習問題