多変数関数による要素の逆像（等位集合）
始集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合が実数空間\(\mathbb{R} \)であるような多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。終集合の要素である実数\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、これに対して、\begin{equation*}y=f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}を満たす始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \)を満たすような\(\boldsymbol{x}\in X\)からなる集合を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( y\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ y=f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X\ |\ y=f\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）、もしくは等位集合（level set）などと呼びます。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は始集合\(X\)の要素であるベクトルに対して終集合\(\mathbb{R} \)の要素である実数を1つずつ定めます。したがって、それぞれの\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は終集合\(\mathbb{R} \)の「要素」です。一方、終集合の要素である実数\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\(y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \)を満たす始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「部分集合」です。
x,y\right) \right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合になりますが、これを特に\(z\)の等位線（level curve）と呼びます。
x,y,z\right) \right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合になりますが、これを特に\(z\)の等位曲面（level surface）と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。
終集合の要素である実数\(z\in \mathbb{R} \)の\(f\)による逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( z\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ z=f\left( x,y\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ z=2x+5y+1\right\}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、\(f\)による\(5\in \mathbb{R} \)の逆像、すなわち等位線は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 5\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=5\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y-4=0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による\(0\in \mathbb{R} \)の逆像、すなわち等位線は、\begin{equation*}f^{-1}\left( 0\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=0\right\}
\end{equation*}です。また、\(f\)による\(-5\in \mathbb{R} \)の逆像、すなわち等位線は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -5\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=-5\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+6=0\right\}
\end{eqnarray*}です。これらを以下に描きました。
\end{equation*}を定めるものとします。標高\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(z\)の逆像、すなわち等位線は、\begin{equation*}f^{-1}\left( z\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ z=f\left( x,y\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは標高が\(z\)であるような地点からなる集合、すなわち標高\(z\)の等高線です。
\end{equation*}を定めるものとします。温度\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(z\)の逆像、すなわち等位線は、\begin{equation*}f^{-1}\left( z\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ z=f\left( x,y\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは気温が\(z\)であるような地点からなる集合、すなわち気温\(z\)の等温線です。
\text{から生産される製品の数量}
\end{equation*}を定めるものとします。製品の数量\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(c\)の逆像、すなわち等位曲面は、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ c=f\left( x,y,z\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは製品を\(c\)だけ生産できる投入量の組み合わせからなる集合です。経済学では、これを生産量\(c\)の等量曲線と呼びます。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による実数\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して以下の関係\begin{equation}\boldsymbol{x}\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left(
\boldsymbol{x}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が\(f\)による実数\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)によるベクトル\(\boldsymbol{x}\)の像が実数\(y\)と一致することは必要十分です。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation}G\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意の\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &f\left(
\boldsymbol{x}\right) =y\quad \because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\left( f\right) \quad
\because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow \left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}もまた成立します。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)が\(f\)による実数\(y\)の逆像の要素であることと、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。
多変数関数による集合の逆像・写像の定義域
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)が与えられた状況を想定します。\(f\)は\(X\)の要素であるそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して実数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(B\)の要素になるような\(\boldsymbol{x}\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(B\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。明らかに、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \subset X
\end{equation*}が成り立ちます。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の終集合\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(\mathbb{R} \)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}もまた定義可能です。これを\(f\)の定義域（domain）と呼び、\begin{equation*}D\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{逆像の定義}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 9-x^{2}-9y^{2}>0\right\}
\end{equation*}です。\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \ln \left( 9-x^{2}-9y^{2}\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 9-x^{2}-9y^{2}>0\right\}
\end{eqnarray*}です。
&=&\phi \quad \because f\left( x\right) \in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となります。つまり、多変数関数による空集合の逆像は空集合です。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in f^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &f\left(
\boldsymbol{x}\right) \in B\quad \because \text{逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\left(
f\right) \quad \because \text{グラフの定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left(
\boldsymbol{x}\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \exists y\in B:y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \exists y\in B:\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} \)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left(f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。
多変数関数の定義域と始集合は一致する
これまで例示した多変数関数はいずれも定義域と始集合が一致していましたが、このような関係は任意の多変数関数に関して成立します。つまり、多変数関数の定義域と始集合は常に一致するということです。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の命題より、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しては、その始集合\(X\)と定義域\(D\left( f\right) \)を同一視しても一般性は失われないことが明らかになりました。多変数関数の始集合と言ったとき、それは同時に定義域を指すとともに、その逆も成立するということです。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}R\left( f\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} \)と一致するとは限りません。つまり、以下の関係\begin{equation*}R\left( f\right) =\mathbb{R} \end{equation*}は成立するとは限りません。一方、先の命題より、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域については以下の関係\begin{equation*}D\left( f\right) =X
\end{equation*}が必ず成立します。両者の違いに注意してください。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。
以下の逆像\begin{eqnarray*}
&&f^{-1}\left( 10\right) \\
&&f^{-1}\left( 5\right) \\
&&f^{-1}\left( 1\right)
\end{eqnarray*}を特定するとともに、それらを図示してください。
\end{equation*}を定めるものします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】