正の無限大へ発散する多変数関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\delta >0\)の近傍であり、\begin{eqnarray*}N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\delta
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数です。いずれにせよ、この場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において定義されているとは限りませんが、点\(\boldsymbol{a}\)からいくらでも近い場所に\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。
関数\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づける場合、\(\boldsymbol{x}\)がどのような経路をたどって点\(\boldsymbol{a}\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大\(+\infty \)へ発散する（diverge to positive infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=+\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\ \text{のとき }f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow +\infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(+\infty \)を正の無限極限（positive infinite limit）と呼びます。
繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f\left( \boldsymbol{x}\right)
=+\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づける場合に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が限りなく大きくなることを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。
まず、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)が成り立つこと、すなわち、\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{a}\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{a}\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(\boldsymbol{x}\)は\(\boldsymbol{a}\)とは異なる点であるとともに、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{a}\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( \boldsymbol{x}\right)\rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が限りなく大きくなる様子を表現するためには、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の大きさを表す指標として実数\(M\in \mathbb{R} \)を導入します。その上で、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) >M
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)のときに\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow +\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(M,\delta \)の関係として表現することになります。
具体的には、まず、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。今、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つのであれば、点\(\boldsymbol{a}\)に十分近くなおかつ点\(\boldsymbol{a}\)とは異なる任意の\(\boldsymbol{x}\)について、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(\boldsymbol{a}\)以外の任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( 0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right)
>M\right)
\end{equation*}となります。
さて、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow +\infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の大きさを表す値\(M\)としてどれほど大きい値を採用した場合でも、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つ限りにおいて、点\(\boldsymbol{a}\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(\boldsymbol{a}\)以外の任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( 0<d\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right) >M\right)
\end{equation*}となります。そこで、以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=+\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめます。関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=+\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づける場合、\(\boldsymbol{x}\)がどのような経路をたどって点\(\boldsymbol{a}\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が限りなく大きくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( 0<d\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right) >M\right)
\end{equation*}になるということです。
ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left(
0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left(
\boldsymbol{x}\right) >M\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の大きさを表す実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。
0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left(
\boldsymbol{x}\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( 0<d\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合の極限について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<\sqrt{\left(
x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \frac{1}{x^{2}+y^{2}}>M\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \frac{1}{x^{2}+y^{2}}>M\right)
\end{equation*}となります。この命題が真であることを示すことが目標です。実際、\(M>0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x^{2}+y^{2}} &=&\frac{1}{\left( \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) ^{2}} \\
&>&\frac{1}{\delta ^{2}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{M}}\right) ^{2}}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{M}} \\
&=&M
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
負の無限大へ発散する多変数関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\delta >0\)の近傍であり、\begin{eqnarray*}N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\delta
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数です。いずれにせよ、この場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において定義されているとは限りませんが、点\(\boldsymbol{a}\)からいくらでも近い場所に\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。
関数\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づける場合、\(\boldsymbol{x}\)がどのような経路をたどって点\(\boldsymbol{a}\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が限りなく小さくなることが保証されているのであれば、\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大\(-\infty \)へ発散する（diverge to negative infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=-\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\ \text{のとき }f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow -\infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(-\infty \)を負の無限極限（negative infinite limit）と呼びます。
繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f\left( \boldsymbol{x}\right)
=-\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づける場合に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が限りなく小さくなることを意味しますが、これをどのような形で厳密に表現できるでしょうか。
まず、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)が成り立つこと、すなわち、\(\boldsymbol{x}\)が\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{a}\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{a}\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(\boldsymbol{x}\)は\(\boldsymbol{a}\)とは異なる点であるとともに、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{a}\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( \boldsymbol{x}\right)\rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が限りなく小さくなる様子を表現するためには、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の小ささを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の小ささを表す指標として実数\(m\in \mathbb{R} \)を導入します。その上で、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) <m
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(m\)よりも小さい」と言えます。\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)のときに\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow -\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(m,\delta \)の関係として表現することになります。
具体的には、まず、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の小ささを表す値\(m\)を任意に選びます。今、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つのであれば、点\(\boldsymbol{a}\)に十分近くなおかつ点\(\boldsymbol{a}\)とは異なる任意の\(\boldsymbol{x}\)について、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(m\)よりも小さくなるはずです。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(\boldsymbol{a}\)以外の任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(m\)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( 0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right)
<m\right)
\end{equation*}となります。
さて、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow -\infty \)となる場合には、最初に設定する\(m\)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の小ささを表す値\(m\)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つ限りにおいて、点\(\boldsymbol{a}\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(\boldsymbol{a}\)以外の任意の点\(\boldsymbol{x}\in X\)について、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(m\)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall m\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( 0<d\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right) <m\right)
\end{equation*}となります。そこで、以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=-\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめます。関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f(\boldsymbol{x})=-\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を点\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\boldsymbol{a}\)に限りなく近づける場合、\(\boldsymbol{x}\)がどのような経路をたどって点\(\boldsymbol{a}\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が限りなく小さくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall m\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( 0<d\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right) <m\right)
\end{equation*}になるということです。
ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall m<0,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left(
0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left(
\boldsymbol{x}\right) <m\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の小ささを表す実数\(m\)として負の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。
0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left(
\boldsymbol{x}\right) <m\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall m\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( 0<d\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow f\left( \boldsymbol{x}\right) <m\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合の極限について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
=-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall m<0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<\sqrt{\left(
x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow -\frac{1}{x^{2}+y^{2}}<m\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall m<0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \frac{1}{x^{2}+y^{2}}>-m\right)
\end{equation*}となります。この命題が真であることを示すことが目標です。実際、\(m<0\)を任意に選んだとき、\(-m>0\)であるため、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{1}{\sqrt{-m}}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x^{2}+y^{2}} &=&\frac{1}{\left( \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) ^{2}} \\
&>&\frac{1}{\delta ^{2}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{-m}}\right) ^{2}}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{-m}} \\
&=&-m
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
振動する多変数関数
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束せず、正の無限大へ発散せず、また、負の無限大へも発散しない場合、この関数\(f\)は\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に振動する（oscillating）と言います。
以下は振動する多変数関数の具体例です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)と原点\(\left( 0,0\right) \)の間の距離を、\begin{equation*}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}と表記すると、\begin{equation*}
f\left( r\right) =\sin \left( \frac{1}{r^{2}}\right)
\end{equation*}と表現できます。\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合には\(r\rightarrow 0\)となるため、この場合には\(\frac{1}{r^{2}}\rightarrow+\infty \)となります。この場合、\(\sin \left( \frac{1}{r^{2}}\right) \)は\(\left[-1,1\right] \)の間で振動し続けるため、この関数\(f\)は\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合に振動します。
続いて、変数が移動する経路によって関数が異なる値へ収束する例です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合の\(f\)の挙動を調べます。\(\left( x,y\right) \)が\(y=0\)を満たす経路で\(\left( 0,0\right) \)へ近づく場合、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x,0\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{x^{2}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。続いて、\(\left( x,y\right) \)が\(x=0\)を満たす経路で\(\left( 0,0\right) \)へ近づく場合、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{y\rightarrow 0}f\left( 0,y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\frac{-y^{2}}{y^{2}} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。最後に、\(\left( x,y\right) \)が\(y=x\)を満たす経路で\(\left( 0,0\right) \)へ近づく場合、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x,x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-x^{2}}{x^{2}+x^{2}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(\left( x,y\right) \)を\(\left( 0,0\right) \)へ近づける経路によっては\(f\)が有限な実数へ収束することは、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合に\(f\)が正の無限大や負の無限大へ発散しないことを意味します。また、\(\left( x,y\right) \)を\(\left( 0,0\right) \)へ近づける経路によって\(f\)が異なる実数へ収束することは、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束しないことを意味します。なぜなら、収束する場合には極限は一意的に定まるからです。以上より、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合に\(f\)は発散することが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。その上で、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
=+\infty
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合に\(f\)が振動することを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合に\(f\)が振動することを証明してください。
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