多変数の多項式関数の定義と具体例

多変数の多項式関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{m}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができる場合には\(f\)を多項式関数（polynomials function）と呼びます。多項式関数\(f\)がそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{k_{1}=0}^{m}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{m}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}を多項式（polynomials）と呼びます。多項式を構成する、\begin{equation*}
c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}を多項式の項（term）と呼びます。\(c_{k_{1},\cdots,k_{n}}\not=0\)である場合、項の次数は、\begin{equation*}k_{1}+\cdots +k_{n}
\end{equation*}と定義されます。また、最大の次数を持つ項の次数を多項式\(f\)そのものの次数とみなします。多項式関数は有限個の項の和です。

多変数の多項式関数のマルチインデックス表示

有限\(n\in \mathbb{N} \)個の非負の整数\(k_{1},\cdots,k_{n}\in \mathbb{Z} _{+}\)からなる順序\(n\)組を\begin{equation*}k=\left( k_{1},\cdots ,k_{n}\right) \in \mathbb{Z} _{+}^{n}
\end{equation*}で表記し、これをマルチインデックス（multi index）と呼びます。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)とマルチインデックス\(k\in \mathbb{Z} _{+}^{n}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{x}\)の\(k\)乗を、\begin{equation*}\boldsymbol{x}^{k}=x_{1}^{k_{1}}\times \cdots \times x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と定義します。

マルチインデックスを要素とする有限集合\(K\subset \mathbb{Z} _{+}^{n}\)が与えられた状況を想定します。それぞれのマルチインデックス\(k\in K\)に対して実数\(c_{k}\in \mathbb{R} \)を1つずつ定めることにより、集合\(\left\{ c_{k}\right\}_{k\in K}\subset \mathbb{R} \)が得られます。このとき、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\sum_{k\in K}c_{k}\boldsymbol{x}^{k}=\sum_{k\in K}c_{k}x_{1}^{k_{1}}\times
\cdots \times x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}となりますが、これは多項式に他なりません。

このような事情を踏まえると、多変数の多項式関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに対してマルチインデックスを要素とする有限集合\(K\subset \mathbb{Z} _{+}^{n}\)と係数の集合\(\left\{c_{k}\right\} _{k\in K}\subset \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の関係\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{k\in K}c_{k}\boldsymbol{x}^{k}
\end{equation*}が成り立ちます。マルチインデックスを利用すれば多変数の多項式関数を簡潔に表現できるということです。

マルチインデックス表示された多項式関数\(f\)を構成するそれぞれの項\(c_{k}\boldsymbol{x}^{k}\)の次数は\(k_{1}+\cdots +k_{n}\)です。そこで、マルチインデックス\(k\in K\)の次数を、\begin{equation*}\left\vert k\right\vert =k_{1}+\cdots +k_{n}
\end{equation*}と定義することにより、項\(c_{k}\boldsymbol{x}^{k}\)の次数は\(\left\vert k\right\vert \)となります。以上の定義にもとづくと、マルチインデックス表示された多項式関数\(f\left( \boldsymbol{x}\right)=\sum_{k\in K}c_{k}\boldsymbol{x}^{k}\)の次数は、\begin{equation*}\max_{k\in K}\left\vert k\right\vert
\end{equation*}と表現されます。

演習問題