多変数関数による像と多変数関数の値域

多変数関数による点の像

始集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合が実数空間\(\mathbb{R} \)であるような多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。始集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を1つずつ定めます。この実数を\(f\)による\(\boldsymbol{x}\)の値（value）や像（image）などと呼びます。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}という\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合として定義されるため、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \in X\times \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}\left( \boldsymbol{x},y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow
y=f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\left( \boldsymbol{x},y\right) \)が多変数関数\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)がベクトル\(\boldsymbol{x}\)に対して定める像が\(y\)であることと必要十分です。

多変数関数による集合の像と値域

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素\(\boldsymbol{x}\)に対してその像\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in A\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in A\right\}
\end{eqnarray*}と表記し、これを\(f\)による\(A\)の像（image）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}f\left( A\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の始集合\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}もまた定義可能です。これを\(f\)の値域（range）と呼び、\begin{equation*}R\left( f\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \\
&=&\left\{ f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X\right\}
\end{eqnarray*}です。

例（多変数関数による集合の像と値域）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

実数\(k\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=k\right\}
\end{equation*}を定義します。これは\(xy\)平面上に存在する直線\(x=k\)です。この直線\(A\)を空間\(\mathbb{R} ^{3}\)へ拡張すると平面\(x=k\)が得られます。さて、\(f\)による\(A\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ 2x+5y+1\in \mathbb{R} \ |\ x=k\wedge y\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{および}A\text{の定義} \\
&=&\left\{ 5y+1+2k\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと\(\mathbb{R} ^{3}\)上の平面\(x=k\)が交わる領域の\(z\)座標からなる集合であり、傾きが\(5\)の直線です。特に、\(k=0\)の場合には、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=0\right\}
\end{equation*}であり、これは\(xy\)平面上の\(y\)軸です。\(A\)を\(\mathbb{R} ^{3}\)へ拡張すると平面\(x=0\)すなわち\(yz\)平面が得られます。この場合、\(f\)による\(A\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ 5y+1\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これは\(f\)のグラフと\(yz\)平面が交わる領域の\(z\)座標からなる集合です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ 2x+5y+1\in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。

例（多変数関数による集合の像と値域）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

以下の集合\begin{equation*}
A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=0\right\}
\end{equation*}を定義します。これは\(xy\)平面上の\(y\)軸です。\(A\)を\(\mathbb{R} ^{3}\)へ拡張すると平面\(x=0\)すなわち\(yz\)平面が得られます。\(f\)による\(A\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x=0\wedge y\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{および}A\text{の定義} \\
&=&\left\{ y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと\(yz\)平面が交わる領域の\(z\)座標からなる集合です。以下の集合\begin{equation*}B=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=0\right\}
\end{equation*}は\(xy\)平面上の\(x\)軸です。\(A\)を\(\mathbb{R} ^{3}\)へ拡張すると平面\(y=0\)すなわち\(xz\)平面が得られます。\(f\)による\(A\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( B\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in B\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y=0\right\} \quad \because f\text{および}B\text{の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと\(xz\)平面が交わる領域の\(z\)座標からなる集合です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}です。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による始集合の部分集合\(A\subset X\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、終集合の要素である任意の実数\(y\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}y\in f\left( A\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:y=f\left( x\right)
\quad \because f\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(A\subset X\)の像を、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in A:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(A=X\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in X:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in X:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

演習問題