確認テスト I（多変数関数）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(f\)の定義域\(X\)を明らかにして下さい（5点）。
2. \(f\)のグラフ\(G\left( f\right) \)の形状を簡潔に説明してください（7点）。

以下の関数の定義域と値域を特定してください（各10点）。

1. \(f\left( x,y\right) =\frac{1}{x-y}\)
2. \(g\left( x,y,z\right) =\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\)
3. \(h\left( x,y,z\right) =\ln \left( z-x^{2}-y^{2}\right) \)

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ xy<0\right) \\
1 & \left( if\ xy\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各7点）。

1. 定義域が\(X=\mathbb{R} ^{2}\)である場合の、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
2. 定義域が\(X=\mathbb{R} _{+}^{2}\)である場合の、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
3. 定義域が\(X=\mathbb{R} _{+}\times \mathbb{R} \)である場合の、\(\left( x,y\right)\rightarrow \left( 0,0\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
2 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください（各7点）。

1. 定義域\(X\)は弧状連結集合でしょうか。判定してください。
2. 関数\(f\)は\(X\)上で連続でしょうか。判定してください。
3. 像\(f\left( X\right) \)は弧状連結集合でしょうか。判定してください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x+y+1\right) -x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left[ 0,2\right] \times \left[ 0,2\right] \end{equation*}です。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}の解が\(X\)上に存在することを証明してください。