存在導入
復習になりますが、論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)であるとき、存在除去とは、\begin{equation*}\exists x\in X:A\left( x\right) \ \models \ A\left( c\right)
\end{equation*}と定義される推論規則です。ただし、記号\(c\)は論理式\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表すものであり、変数\(x\)そのものや、変数\(x\)がとり得る個々の具体的な値とは区別されます。したがって、存在除去の結論である\(A\left( c\right) \)とは、論理式\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に定義域\(X\)中の何らかの値を代入すると真であるような命題が得られることを意味します。したがって、逆に\(A\left( c\right) \)が成り立つ場合、存在除去の前提である\(\exists x\in X:A\left( x\right) \)もまた成り立ちます。以上を踏まえた上で、以下の推論規則\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものと定め、これを存在導入（existential introduction）や\(\exists \)導入（\(\exists \) introduction）、存在汎化（existential generalization）などと呼びます。
繰り返しになりますが、存在導入中の\(c\)は論理式\(A\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号です。したがって、\(c\)が変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号である場合においても、存在導入のもとでは、\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、変数\(x\)がとり得る具体的な値\(x_{i}\in X\)を任意に選んだ場合にも、存在導入のもとでは、\begin{equation*}A\left( x_{i}\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}について考えます。論理式\(P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、存在導入より、\begin{equation*}P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:\left(
P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)についても、存在導入より、\begin{equation*}P\left( c\right) \wedge Q\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:\left(
P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。具体的な値\(\overline{x}\in X\)に関しても、存在導入より、\begin{equation*}P\left( \overline{x}\right) \wedge Q\left( \overline{x}\right) \ \models \
\exists x\in X:\left( P\left( x\right) \wedge Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}について考えます。論理式\(\exists y\in X:\left( P\left( x,y\right)\rightarrow Q\left( x\right) \right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)について、存在導入より、\begin{equation*}\exists y\in X:\left( P\left( c,y\right) \rightarrow Q\left( c\right)
\right) \ \models \ \exists x\in X,\ \exists y\in X:\left( P\left(
x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)についても、存在導入より、\begin{equation*}\exists y\in X:\left( P\left( c,y\right) \rightarrow Q\left( c\right)
\right) \ \models \ \exists x\in X,\ \exists y\in X:\left( P\left(
x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。具体的な値\(\overline{x}\in X\)に関しても、存在導入より、\begin{equation*}\exists y\in X:\left( P\left( \overline{x},y\right) \rightarrow Q\left(
\overline{x}\right) \right) \ \models \ \exists x\in X,\ \exists y\in
X:\left( P\left( x,y\right) \rightarrow Q\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。
c>0\ \models \ \exists x\in \mathbb{R} :x>0
\end{equation*}は妥当です。ただし、\(c\)は論理式\(x>0\)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号です。変数\(x\)がとり得る「すべての値」を代表的な形で表す記号\(c\)についても、存在導入より、\begin{equation*}c>0\ \models \ \exists x\in \mathbb{R} :x>0
\end{equation*}が成り立ちます。具体的な実数\(\overline{x}\in \mathbb{R} \)に関しても、存在導入より、\begin{equation*}\overline{x}>0\ \models \ \exists x\in \mathbb{R} :x>0
\end{equation*}が成り立ちます。
&&\text{太郎は日本人である} \\
&&\text{したがって、日本人が存在する}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合です。以下の命題関数\begin{equation*}P\left( x\right) :x\text{は日本人である}
\end{equation*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{equation*}
P\left( \text{太郎}\right) \ \therefore \ \exists x\in X:P\left(
x\right)
\end{equation*}と定式化されます。前提である、\begin{equation*}
P\left( \text{太郎}\right)
\end{equation*}に存在導入を適用すると、\begin{equation*}
\exists x\in X:P\left( x\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、与えられた推論が妥当であることが示されました。
&&\text{運転手はいずれも運転免許を持っている} \\
&&\text{運転手であるような女性が存在する} \\
&&\text{したがって、運転免許を持っている女性が存在する}
\end{eqnarray*}ただし、変数\(x\)の定義域\(X\)はすべての人間からなる集合です。以下の命題関数\begin{eqnarray*}P\left( x\right) &:&x\text{は運転手である} \\
Q\left( x\right) &:&x\text{は運転免許を持っている} \\
R\left( x\right) &:&x\text{は女性である}
\end{eqnarray*}を定義すると、与えられた推論は、\begin{eqnarray}
&\forall x\in &X:\left( P\left( x\right) \rightarrow Q\left( x\right)
\right) \ \quad \cdots (1) \\
&\exists x\in &X:\left( P\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \right)
\quad \cdots (2) \\
&\therefore &\ \exists x\in X:\left( Q\left( x\right) \wedge R\left(
x\right) \right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定式化されます。論理式\(P\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \)の変数\(x\)に代入すると真の命題になるような「何らかの値」を代表的な形で表す記号\(c\)を導入します。\(\left( 1\right) \)に全称除去を適用すると、\begin{equation}P\left( c\right) \rightarrow Q\left( c\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}を得て、\(\left( 2\right) \)に存在除去を適用すると、\begin{equation}P\left( c\right) \wedge R\left( c\right) \quad \cdots (5)
\end{equation}を得ます。\(\left( 5\right) \)から\(P\left( c\right) \)が得られるため、これと\(\left( 4\right) \)に含意除去を適用すると、\begin{equation}Q\left( c\right) \quad \cdots (6)
\end{equation}を得ます。また、\(\left(5\right) \)から、\begin{equation}R\left( c\right) \quad \cdots (7)
\end{equation}を得ます。\(\left( 6\right) ,\left( 7\right) \)から、\begin{equation*}Q\left( c\right) \wedge R\left( c\right)
\end{equation*}を得るため、これに存在導入を適用すると、\begin{equation*}
\exists x\in X:\left( Q\left( x\right) \wedge R\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得るため、与えられた推論が妥当であることが示されました。
存在導入に関する制約
論理式\(A\)が変数\(x\in X\)の自由な現れを持つ開論理式\(A\left( x\right) \)である場合、存在導入とは、\begin{equation*}A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}と定義される推論規則です。ただし、この推論規則の前提\(A\left(c\right) \)において変数\(x\)の自由な現れが存在する場合、上の推論規則は妥当ではなくなってしまいます。以下の例より明らかです。
\end{equation}が与えられているものとします。\(c\)はすべての実数を代表的な形で表す記号であるため、存在導入を適用すると、\begin{equation}\exists x\in \mathbb{R} :\left( x\not=x\vee x>x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が得られます。以上より、\begin{equation}
\left( x\not=c\vee x>c\right) \ \models \ \exists x\in \mathbb{R} :\left( x\not=x\vee x>x\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が得られました。しかし、実際には\(\left( 2\right) \)は偽であるため、\(\left(3\right) \)は成り立ちません。このような問題をもたらした原因は、\(\left( 3\right) \)の前提である\(\left(1\right) \)が変数\(x\)の自由な現れを持つにも関わらず、\(c\)から\(\exists x\in \mathbb{R} \)を導いてしまったことにあります。ちなみに、変数\(x\)とは異なる変数\(y\)に関しては存在導入が適用可能であるため、\begin{equation*}\left( x\not=c\vee x>c\right) \ \models \ \exists y\in \mathbb{R} :\left( x\not=y\vee x>y\right)
\end{equation*}は妥当な推論規則です。
以上の例から明らかになったように、存在導入\begin{equation*}
A\left( c\right) \ \models \ \exists x\in X:A\left( x\right)
\end{equation*}を適用する際には、前提である論理式\(A\left(x\right) \)が変数\(x\)の自由な現れを持たないことを確認する必要があります。
演習問題
&&\text{すべての人間は死ぬ} \\
&&\text{ソクラテスは人間である} \\
&&\text{したがって、死ぬ者が存在する}
\end{eqnarray*}
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