開集合を用いたベクトル値関数の連続性の表現
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。このような関数が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。また、\(f\)が定義域\(X\)上で連続であることは、\(f\)が\(X\)上の任意の点において連続であることとして、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
X:\left( \left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、ベクトル値関数が定義域\(X\)上で連続であることを示すためには、通常、定義域上の点を任意に選んだ上で、ベクトル値関数がその点において連続であることを示すという手続きを踏むことになります。その一方で、そのような手続きを踏まずに、ベクトル値関数が定義域上において連続であることを直接示す手法も存在します。順番に解説します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとします。その上で、\(\boldsymbol{f}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合\(Y\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \)を任意に選びます。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合系を表す記号です。\(Y\subset \mathbb{R} ^{m}\)であるため\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left(
x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}をとることができますが、一般に、これは\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)上の開集合であるとは限りません。一方、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で連続である場合には、先のような逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \)が必ず\(X\)上の開集合になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall Y\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) :\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \in \mathcal{O}\left(
X\right)
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)上の開集合系を表す記号です。
X\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合系であり、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)上の開集合系である。
先の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が以下の条件\begin{equation*}\forall Y\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) :\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \in \mathcal{O}\left(
X\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(\boldsymbol{f}\)が連続関数になることが保証されます。
X\right)
\end{equation*}を満たすならば、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上において連続である。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合系であり、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)上の開集合系である。
以上の2つの命題より、連続関数という概念は開集合を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
X\right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上において連続であることは必要十分である。ただし、\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合系であり、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)上の開集合系である。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} \)である場合には、上の命題において\(\mathcal{O}\left(X\right) \)が\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)に置き換わります。つまり、全区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域\(\mathbb{R} \)上において連続であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall Y\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) :\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
先の命題を用いれば、ベクトル値関数が定義域上のそれぞれの点において連続であることを示さなくても、その関数が定義域上で連続であることを直接的に示すことができます。
先の命題のもう一つのポイントは、ベクトル値関数の極限や距離の概念などを経由せずとも、開集合の概念（すなわち位相）さえ与えられればベクトル値関数の連続性という概念を表現できるということです。この事実は、開集合の概念だけが定義された一般の集合においても（このような集合を位相空間と呼びます）写像の連続性を定義できることを意味します。位相空間および位相空間における写像の連続性については場を改めて解説します。
開近傍を用いたベクトル値関数の連続性の表現
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{equation*}\forall Y\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) :\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \in \mathcal{O}\left(
X\right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上において連続であることと必要十分であることが明らかになりました。したがって、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が連続であることを示すためには、\(\mathbb{R} ^{m}\)上の開集合\(Y\)を任意に選んだ上で、関数\(\boldsymbol{f}\)によるその逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の開集合になることを示せばよいということになります。ただ、すべての開集合に対してこのような検証を行うことは面倒です。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の任意の開集合は可算個の点の開近傍の和集合として表すことができます。ただし、ここでの点の開近傍とは、何らかの点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)および\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。以上の事実を利用すると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の連続性を判定する際には、\(\mathbb{R} ^{m}\)上の任意の開集合\(Y\)について\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の開集合であることを検証する必要はなく、任意の開近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)について\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \)が\(X\)上の開集合であることを示せば十分であることが示されます。具体的には以下の通りです。
\end{equation*}で表記する。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{equation*}\forall N\in \mathcal{N}:\boldsymbol{f}^{-1}\left( N\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上において連続であることは必要十分である。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)上の開集合系である。
以上の命題より、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上において連続であることを示すためには、\(\boldsymbol{f}\)による任意の開近傍の逆像が必ず\(X\)上の開集合になることを示せば十分であることが明らかになりました。ちなみに、開近傍は中心と半径によって特徴づけられるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で連続であるための条件を、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0:\boldsymbol{f}^{-1}\left( N_{\varepsilon
}\left( \boldsymbol{a}\right) \right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}と表現することもできます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} \)である場合には、先の命題において\(\mathcal{O}\left(X\right) \)が\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)に置き換わります。つまり、全区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域\(\mathbb{R} \)上において連続であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall N\in \mathcal{N}:\boldsymbol{f}^{-1}\left( N\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
\begin{array}{c}
x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である\(x\)と\(x+1\)は連続であるため\(\boldsymbol{f}\)もまた連続です。同じことを開近傍の逆像を用いて示します。点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で開近傍\(N_{\varepsilon }\left( a_{1},a_{2}\right) \)を構成します。\(\boldsymbol{f}\)による\(N_{\varepsilon }\left( a_{1},a_{2}\right) \)の逆像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( N_{\varepsilon }\left( a_{1},a_{2}\right) \right)
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in N_{\varepsilon }\left(
a_{1},a_{2}\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
x+1\end{array}\right) \in N_{\varepsilon }\left( a_{1},a_{2}\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sqrt{\left( x-a_{1}\right) ^{2}+\left( x+1-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( x-a_{1}\right) ^{2}+\left( x+1-a_{2}\right) ^{2}<\varepsilon
^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( x-a_{1}\right) ^{2}+\left( x+1-a_{2}\right)
^{2}-\varepsilon ^{2}
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( N_{\varepsilon }\left( a_{1},a_{2}\right) \right)
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( x-a_{1}\right) ^{2}+\left( x+1-a_{2}\right) ^{2}<\varepsilon
^{2}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ g\left( x\right) <0\right\} \\
&=&g^{-1}\left( \left( -\infty ,0\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( -\infty ,0\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合です。\(g\)は1変数関数の多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、\begin{equation*}g^{-1}\left( \left( -\infty ,0\right) \right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( N_{\varepsilon }\left( a_{1},a_{2}\right) \right)
\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であるため、\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} \)上で連続であることが明らかになりました。
開区間を用いたベクトル値関数の連続性の表現
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の任意の開集合は可算個の有界開区間の和集合として表すことができます。ただし、ここでの有界開区間とは、任意の\(i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} \)について\(a_{i}<b_{i}\)を満たす2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)を用いて、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) &=&\prod_{i=1}^{m}\left(
a_{i},b_{i}\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合です。以上の事実を利用すると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の連続性を判定する際には、\(\mathbb{R} ^{m}\)上の任意の開集合\(Y\)について\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \)が\(X\)上の開集合であることを検証する必要はなく、任意の有界開区間\(\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) \)について\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( \left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) \right) \)が\(X\)上の開集合であることを示せば十分であることが示されます。具体的には以下の通りです。
\end{equation*}で表記する。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{equation*}\forall I\in \mathcal{I}:\boldsymbol{f}^{-1}\left( I\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上において連続であることは必要十分である。ただし、\(\mathcal{O}\left( X\right) \)は\(X\)上の開集合系である。
以上の命題より、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上において連続であることを示すためには、\(\boldsymbol{f}\)による任意の有界開区間の逆像が必ず\(X\)上の開集合になることを示せば十分であることが明らかになりました。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} \)である場合には、先の命題において\(\mathcal{O}\left(X\right) \)が\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) \)に置き換わります。つまり、全区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域\(\mathbb{R} \)上において連続であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall I\in \mathcal{I}:\boldsymbol{f}^{-1}\left( I\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
\begin{array}{c}
x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である\(x\)と\(x+1\)は連続であるため\(\boldsymbol{f}\)もまた連続です。同じことを開区間の逆像を用いて示します。\(a<b\)かつ\(c<d\)を満たす\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で有界開区間\(\left( a,b\right) \times \left(c,d\right) \)を構成します。\(\boldsymbol{f}\)による\(\left( a,b\right) \times \left(c,d\right) \)の逆像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \left( a,b\right) \times \left( c,d\right) \right)
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \left( a,b\right) \times \left(
c,d\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
x+1\end{array}\right) \in \left( a,b\right) \times \left( c,d\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\wedge c<x+1<d\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\wedge c-1<x<d-1\right\} \\
&=&\left( a,b\right) \cap \left( c-1,d-1\right)
\end{eqnarray*}となります。有界開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であり、開集合どうしの共通部分は開集合であるため、\begin{equation*}\left( a,b\right) \cap \left( c-1,d-1\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( \left( a,b\right) \times \left( c,d\right) \right)
\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} \)上で連続であることが明らかになりました。
ベクトル値関数が連続でないことの証明
先の諸命題はベクトル値関数が連続であるための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が連続ではないことを示す際にも有用です。
まず、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で連続であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall Y\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) :\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \in \mathcal{O}\left(
X\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であるため、この命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
\exists Y\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) :\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \not\in \mathcal{O}\left(
X\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上に連続ではない点を持つことになります。
また、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で連続であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall N\in \mathcal{N}:\boldsymbol{f}^{-1}\left( N\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であるため、この命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
\exists N\in \mathcal{N}:\boldsymbol{f}^{-1}\left( N\right) \not\in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上に連続ではない点を持つことになります。
また、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で連続であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall I\in \mathcal{I}:\boldsymbol{f}^{-1}\left( I\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であるため、この命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
\exists I\in \mathcal{I}:\boldsymbol{f}^{-1}\left( I\right) \not\in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)上に連続ではない点を持つことになります。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)は\(0\)において連続ではないため、定義域\(\mathbb{R} \)上において連続ではありませんが、同様のことを先の命題から導きます。以下の有界開区間\begin{equation*}I=\left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \times \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \in \mathcal{I}
\end{equation*}に注目すると、\(\boldsymbol{f}\)による逆像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( I\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in I\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)
\times \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \right\} \quad \because
I=\left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないため、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( I\right) \not\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上において連続ではありません。
演習問題
\begin{array}{c}
x^{3} \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が連続であることを、任意の開近傍の逆像が開集合であることを示すことを通じて証明してください。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x\leq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が連続ではないことを、開近傍の逆像を用いて証明してください。
\begin{array}{c}
x \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が連続であることを、任意の有界開区間の逆像が開集合であることを示すことを通じて証明してください。
X\right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が\(X\)上で連続であることは必要十分であることを示してください。ただし、\(\mathcal{A}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の閉集合系であり、\(\mathcal{A}\left( X\right) \)は\(X\)上の閉集合系です。
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