無限遠点における多変数関数の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の非有界集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \boldsymbol{x}\in X:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >\varepsilon
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、変数\(\boldsymbol{x}\)の値が変動するにつれてノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が限りなく大きくなるような経路が\(X\)上に存在することが保証されます。
関数\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を\(X\)上を動かしながらノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)を限りなく大きくした場合に、その経路がどのようなものであったとしても\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値がある有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、無限遠点において\(f\)は\(b\)に収束する（\(f\) converge to \(b\) at infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
\boldsymbol{x}\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty \text{のとき}f\left( \boldsymbol{x}\right) \rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の極限（limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。
まず、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(b\)に限りなく近いと言うためには、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(b\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。
次に問題になるのは「\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が大きくなるにつれて」という表現の定式化です。\(\boldsymbol{x}\)が大きくなるにつれて\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとは、ある値より大きい任意の\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)について、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなることとして言い換え可能です。つまり、ある実数\(M\in \mathbb{R} \)が存在して、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >M\)を満たす任意の\(\boldsymbol{x}\)について\(\left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) -b\right\vert <\varepsilon \)が成り立つということです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
>M\Rightarrow \left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の命題が成り立つのであれば、「\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が大きくなるにつれて\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなる」と言えます。
最後に問題になるのは「限りなく近づく」という表現の定式化です。\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(b\)に収束することとは、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が大きくなるにつれて\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、この場合、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が大きくなるにつれて\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)と\(b\)の間の距離が\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
>M\Rightarrow \left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の命題によって、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
\boldsymbol{x}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめます。無限遠点において定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
\boldsymbol{x}\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を\(X\)上の点をとりながらノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)を限りなく大きくする場合、その経路がどのようなものであったとしても、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値が\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
>M\Rightarrow \left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。
ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M>0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left(
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >M\Rightarrow \left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)が満たすべき条件を規定する実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >M\Rightarrow \left\vert f\left(
\boldsymbol{x}\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert
>M\Rightarrow \left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分である。
}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
\boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。具体的には、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} :\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >M\Rightarrow \left\vert \frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert }-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} :\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >M\Rightarrow \frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert }<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}M=\frac{1}{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、\begin{equation}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >M \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{1}{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert } &<&\frac{1}{M}\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon }}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。具体的には、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( \left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert >M\Rightarrow
\left\vert \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( \sqrt{x^{2}+y^{2}}>M\Rightarrow \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(\varepsilon >1\)の場合には、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{eqnarray*}\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} &\leq &\frac{1}{1} \\
&=&1 \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >1
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下では\(0<\varepsilon \leq 1\)の場合について考えます。この場合、\begin{equation}M=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon }-1}\geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選べば、\begin{equation}
\sqrt{x^{2}+y^{2}}>M \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} &<&\frac{1}{1+M^{2}}\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&\frac{1}{1+\left( \frac{1}{\varepsilon }-1\right) }\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
多変数関数\(f\)の無限点における収束可能性を検討する際には、\(f\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の非有界集合であればよく、\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)である必要はありません。\(X\)が非有界であり、なおかつ、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty \)となり得る\(\boldsymbol{x}\)の経路としてどのようなものを選んだ場合でも、その際に\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)の値がある特定の実数\(b\)に限りなく近づくのであれば、\(f\)は無限遠点において収束するということです。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq 0\wedge \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)とは一致しないものの非有界集合です。しかも、\begin{equation*}\lim_{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
無限遠点における多変数関数の極限の一意性
多変数関数が無限遠点において有限な実数へ収束する場合、その極限は1つの実数として定まります。
無限遠点において収束しない多変数関数
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が無限遠点において収束することを検討するためには、そもそも\(f\)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の非有界集合である必要があります。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \boldsymbol{x}\in X:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >\varepsilon
\end{equation*}である必要があります。以上の条件が満たされない場合、すなわち、\(X\)が有界集合である場合には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立ちますが、この場合、\(f\)の変数\(\boldsymbol{x}\)を定義域\(X\)上で動かしてもノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)は無限大へ発散しないため、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty \)の場合に\(f\)が収束することを検討できません。ゆえに、\(X\)が有界である場合に\(f\)は無限遠点において収束しません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1-x^{2}-y^{2}\geq 0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の円盤であり、\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界集合です。したがって\(f\)は無限遠点において収束しません。
多変数関数\(f\)の定義域\(X\)が非有界であったとしても、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert\rightarrow +\infty \)となり得る\(\boldsymbol{x}\)の何らかの経路のもとで\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が有限な実数へ収束しないのであれば、\(f\)は無限遠点において収束しません。なぜなら、\(f\)が無限遠点において収束するためには、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty \)となり得る任意の経路のもとで\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が有限な実数へ収束する必要があるからです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(y=x\)を満たしながら\(x\rightarrow +\infty \)とする場合には\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \rightarrow +\infty \)となる一方で、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x,x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty
}\sin \left( x^{2}\right)
\end{equation*}となり、ゆえに\(f\left( x,y\right) \)は振動します。以上より、\(f\)は無限遠点において収束しないことが明らかになりました。
多変数関数\(f\)の定義域\(X\)が非有界であったとしても、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert\rightarrow +\infty \)となり得る\(\boldsymbol{x}\)の経路に応じて\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)が異なる実数へ収束するならば、\(f\)は無限遠点において収束しません。なぜなら、\(f\)が無限遠点において収束する場合、その極限は一意的に定まるからです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(y=0\)を満たしながら\(x\rightarrow +\infty \)とする場合には\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \rightarrow +\infty \)となる一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x,0\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\frac{x}{\sqrt{x^{2}}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{\left\vert x\right\vert } \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x}{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。その一方で、\(y=0\)を満たしながら\(x\rightarrow -\infty \)とする場合には\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \rightarrow+\infty \)となる一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x,0\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }\frac{x}{\sqrt{x^{2}}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x}{\left\vert x\right\vert } \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x}{-x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \rightarrow+\infty \)を実現する経路に依存して\(f\left( x,y\right) \)の極限の値が変わり得ることが明らかになりました。したがって\(f\)は無限点において収束しません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
\boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq 0\wedge \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right\}
\end{equation*}です。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{\left\Vert \left( x,y\right) \right\Vert \rightarrow +\infty }f\left(
x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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