連続なベクトル値関数による連結集合の像
区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域\(I\)上で連続である場合、\(f\)による\(I\)の像、すなわち\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( I\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in I\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上の区間になることが保証されます。実数空間\(\mathbb{R} \)において、その部分集合\(I\)が区間であることと、\(I\)が連結集合であることは必要十分です。したがって、先の命題において「区間」を「連結集合」に置き換えることができます。つまり、連続関数による連結集合の像は連結集合であるということです。
ベクトル値関数に関しても同様の主張が成り立ちます。すなわち、実数空間\(\mathbb{R} \)上の連結集合\(X\)上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義域\(X\)上において連続である場合、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像、すなわち\(\boldsymbol{f}\)の値域\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{m}\)上の連結集合になることが保証されます。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の連結集合である。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\left[0,2\pi \right] \)は区間であるため\(\mathbb{R} \)上の連結集合であり、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ 0,2\pi \right] \)上で連続であるため、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ 0,2\pi \right] \)の像は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,2\pi \right] \right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=\cos \left( t\right) \\
y=\sin \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}ですが、これを変形すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}=\cos ^{2}\left( t\right) \\
y^{2}=\sin ^{2}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}を得ます。任意の\(t\in \left[0,2\pi \right] \)について、\begin{equation*}\cos ^{2}\left( t\right) +\sin ^{2}\left( t\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえた上で、先の連立1次方程式から\(t\)を消去すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2}=1 \\
-1\leq x\leq 1 \\
-1\leq y\leq 1\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,2\pi \right] \right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,2\pi \right] \right) \)は原点を中心とする単位円ですが、先の議論よりこれは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。
連結集合の連続逆像
連続なベクトル値関数による連結集合の像は連結集合になることが明らかになりました。では、連続なベクトル値関数による連結集合の逆像は連結集合になることは保証されるのでしょうか。順番に検証します。
連結集合上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} ^{m}\)上の連結集合\(Y\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだ場合、\(\boldsymbol{f}\)による逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left(
x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上の連結集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間であるため\(\mathbb{R} \)上の連結集合です。以下の集合\begin{equation*}Y=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}=1\wedge y\geq 0\right\}
\end{equation*}に注目します。これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する単位円の上半分であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) &=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in Y\right\} \\
&=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \cos ^{2}\left( t\right) +\sin ^{2}\left( t\right) =1\wedge \sin \left(
t\right) \geq 0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \sin \left( t\right) \geq 0\right\} \\
&=&\bigcup_{k\in \mathbb{Z} }\left[ 2k\pi ,2k\pi +\pi \right] \end{eqnarray*}ですが、これは区間ではなく、ゆえに\(\mathbb{R} \)上の連結集合でもありません。
連続なベクトル値関数による連結集合の逆像は連結集合になるとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとでは、連続なベクトル値関数による連結集合の逆像が連結集合になることを保証できるのでしょうか。
連結集合上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。\(\boldsymbol{f}\)が単射である場合、その終集合を値域に制限して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \boldsymbol{f}\left( X\right)
\end{equation*}とすれば\(\boldsymbol{f}\)は全単射になるため、その逆写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}:\mathbb{R} ^{m}\supset \boldsymbol{f}\left( X\right) \rightarrow X
\end{equation*}が存在することが保証されます。さらに\(\boldsymbol{f}^{-1}\)が\(\boldsymbol{f}\left( X\right) \)上において連続である場合、\(\boldsymbol{f}\left( X\right) \)上の連結集合\(Y\)を任意に選べば、\(\boldsymbol{f}^{-1}\)による\(Y\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) =\left\{ y\in \boldsymbol{f}\left(
X\right) \ |\ \boldsymbol{f}^{-1}\left( y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上の連結集合になります。逆写像\(\boldsymbol{f}^{-1}\)による\(Y\)の像は、もとの写像\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像と一致するため、\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( Y\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像でもあります。
x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上の連結集合である。
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間であるため\(\mathbb{R} \)上の連結集合でもあります。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上の連続関数です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)による\(\mathbb{R} \)の像は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}ですが、ここから\(t\)を消去すると、\begin{equation*}y=x^{2}
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)は放物線です。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上で単射であり、逆写像\(\boldsymbol{f}^{-1}:\mathbb{R} ^{2}\supset \boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)上で連続であるため、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)上の連結集合\(Y\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像は\(\mathbb{R} \)上の連結集合です（演習問題）。
演習問題
\begin{array}{c}
t^{3} \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)による\(\left[ 0,1\right] \)の像は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合でしょうか。議論してください。
\begin{array}{c}
t \\
t^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} \)は区間であるため\(\mathbb{R} \)上の連結集合でもあります。\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上の連続関数です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)による\(\mathbb{R} \)の像は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。本文中の議論より、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)は放物線です。以下の問いに答えてください。
- \(\boldsymbol{f}\)が\(\mathbb{R} \)上で単射であることを示してください。
- 逆写像\(\boldsymbol{f}^{-1}:\mathbb{R} ^{2}\supset \boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \)を具体的に求めた上で、それが\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)上で連続であることを示してください。
- 以下の集合\begin{equation*}Y=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\wedge 0\leq x\leq 2\right\}
\end{equation*}に注目します。\(\boldsymbol{f}\)による\(Y\)の逆像を具体的に特定した上で、それが\(\mathbb{R} \)上の連結集合であることを示してください。
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