関連する変化率
2つの変数\(x,y\)の関係が関数\(f\)を用いて、\begin{equation*}y=f\left( x\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。さらに、変数\(x,t\)の関係が関数\(g\)を用いて、\begin{equation*}x=g\left( t\right)
\end{equation*}と記述されているものとします。関数\(f,g\)が合成可能である場合には、\begin{equation}y=f\left( g\left( t\right) \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となるため、\(t\)の変化が\(x\)にもたらす影響を分析できます。
関数\(f,g\)がともに微分可能である場合には、\(\left( 1\right) \)および合成関数の微分より、\begin{equation}\frac{dy\left( t\right) }{dt}=\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( t\right) }\cdot \frac{dg\left( t\right) }{dt}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。したがって、何らかの値\(t=t_{0}\)のもとでの以下の2つの情報\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ g\left( t_{0}\right) \\
&&\left( b\right) \ \frac{dg\left( t_{0}\right) }{dt}
\end{eqnarray*}が与えられれば、\(\left(2\right) \)を用いることにより、\begin{equation*}\left( c\right) \ \frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}
\end{equation*}を特定できます。逆に、\(\left( a\right) ,\left( c\right) \)および\(\left( 1\right) \)から\(\left( b\right) \)を特定することもできます。このような手法を関連する変化率（related rates）と呼びます。
例（体積の変化率と半径の変化率の関係）
球形の風船に空気を入れます。風船の体積は常に毎秒\(100\)立方センチメートルずつ増加するものとします。風船の直径が\(50\)センチメートルに到達した瞬間における半径の変化率を求めます。風船の半径が\(r\)であるとき、風船の体積\(V\)は、\begin{equation}V=\frac{4}{3}\pi r^{3} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。また、時点\(t\)における風船の体積を、\begin{equation}r=r\left( t\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}で表記します。風船の直径が\(50\)センチの時点において半径は\(25\)センチであるため、以下の条件\begin{equation}r\left( t_{0}\right) =25 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす時点\(t=t_{0}\)における半径の変化率\begin{equation*}\frac{dr\left( t_{0}\right) }{dt}
\end{equation*}を求めることが目標です。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)を合成すると、\begin{equation*}V\left( t\right) =\frac{4}{3}\pi \left[ r\left( t\right) \right] ^{3}
\end{equation*}を得ます。両辺を\(t\)に関して微分すると、合成関数の微分より、\begin{eqnarray*}\frac{dV\left( t\right) }{dt} &=&\frac{4}{3}\pi \cdot 3\left[ r\left(
t\right) \right] ^{2}\cdot \frac{dr\left( t\right) }{dt} \\
&=&4\pi \cdot \left[ r\left( t\right) \right] ^{2}\cdot \frac{dr\left(
t\right) }{dt}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\frac{dr\left( t\right) }{dt}=\frac{\frac{dV\left( t\right) }{dt}}{4\pi
\cdot \left[ r\left( t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を得ます。したがって、時点\(t_{0}\)においても、\begin{equation}\frac{dr\left( t_{0}\right) }{dt}=\frac{\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}}{4\pi \cdot \left[ r\left( t_{0}\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。風船の体積は常に毎秒\(100\)立方センチメートルずつ増加しているため、時点\(t_{0}\)においても、\begin{equation}\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}=100 \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立ちます。以上より、\begin{eqnarray*}
\frac{dr\left( t_{0}\right) }{dt} &=&\frac{\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}}{4\pi \cdot \left[ r\left( t_{0}\right) \right] ^{2}}\quad \because \left(
3\right) \\
&=&\frac{100}{4\pi \cdot 25^{2}}\quad \because \left( 4\right) ,\left(
5\right) \\
&=&\frac{1}{25\pi }
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。
\end{equation}です。また、時点\(t\)における風船の体積を、\begin{equation}r=r\left( t\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}で表記します。風船の直径が\(50\)センチの時点において半径は\(25\)センチであるため、以下の条件\begin{equation}r\left( t_{0}\right) =25 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす時点\(t=t_{0}\)における半径の変化率\begin{equation*}\frac{dr\left( t_{0}\right) }{dt}
\end{equation*}を求めることが目標です。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)を合成すると、\begin{equation*}V\left( t\right) =\frac{4}{3}\pi \left[ r\left( t\right) \right] ^{3}
\end{equation*}を得ます。両辺を\(t\)に関して微分すると、合成関数の微分より、\begin{eqnarray*}\frac{dV\left( t\right) }{dt} &=&\frac{4}{3}\pi \cdot 3\left[ r\left(
t\right) \right] ^{2}\cdot \frac{dr\left( t\right) }{dt} \\
&=&4\pi \cdot \left[ r\left( t\right) \right] ^{2}\cdot \frac{dr\left(
t\right) }{dt}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\frac{dr\left( t\right) }{dt}=\frac{\frac{dV\left( t\right) }{dt}}{4\pi
\cdot \left[ r\left( t\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を得ます。したがって、時点\(t_{0}\)においても、\begin{equation}\frac{dr\left( t_{0}\right) }{dt}=\frac{\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}}{4\pi \cdot \left[ r\left( t_{0}\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。風船の体積は常に毎秒\(100\)立方センチメートルずつ増加しているため、時点\(t_{0}\)においても、\begin{equation}\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}=100 \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立ちます。以上より、\begin{eqnarray*}
\frac{dr\left( t_{0}\right) }{dt} &=&\frac{\frac{dV\left( t_{0}\right) }{dt}}{4\pi \cdot \left[ r\left( t_{0}\right) \right] ^{2}}\quad \because \left(
3\right) \\
&=&\frac{100}{4\pi \cdot 25^{2}}\quad \because \left( 4\right) ,\left(
5\right) \\
&=&\frac{1}{25\pi }
\end{eqnarray*}であることが明らかになりました。
例（(y)座標の変化率と(x)座標の変化率の関係）
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する物体の位置が座標\(\left( x,y\right) \)として表現されているものとします。この物体は以下の曲線\begin{equation}y=x^{2}-2x+3 \quad \cdots (1)
\end{equation}に沿って移動しているものとします。\(y\)座標の変化率が\(x\)座標の変化率のちょうど\(4\)倍になる時点における物体の位置\(\left( x,y\right) \)を特定します。時点\(t\)における物体の位置を、\begin{equation*}\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) \right)
\end{equation*}で表記します。以下の条件\begin{equation}
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}=4\cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす時点\(t_{0}\)における物体の位置\begin{equation*}\left( x\left( t_{0}\right) ,y\left( t_{0}\right) \right)
\end{equation*}を特定することが目標です。物体は曲線\(\left( 1\right) \)上に存在するため、\begin{equation*}y\left( t\right) =\left[ x\left( t\right) \right] ^{2}-2x\left( t\right) +3
\end{equation*}が成り立ちます。両辺を\(t\)について微分すると、\begin{equation*}\frac{dy\left( t\right) }{dt}=2x\left( t\right) \cdot \frac{dx\left(
t\right) }{dt}-2\cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}
\end{equation*}となるため、時点\(t_{0}\)においても、\begin{equation}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}=2x\left( t_{0}\right) \cdot \frac{dx\left(
t_{0}\right) }{dt}-2\cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt} \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(2\right) ,\left( 3\right) \)から\(\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}\)を消去すると、\begin{equation*}4\cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}=2x\left( t_{0}\right) \cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}-2\cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}
\end{equation*}を得るため、これを解くと、\begin{equation*}
x\left( t_{0}\right) =3
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{eqnarray*}y\left( t_{0}\right) &=&3^{2}-2\cdot 3+3 \\
&=&9-6+3 \\
&=&6
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\left( x\left( t_{0}\right) ,y\left( t_{0}\right) \right) =\left( 3,6\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation}に沿って移動しているものとします。\(y\)座標の変化率が\(x\)座標の変化率のちょうど\(4\)倍になる時点における物体の位置\(\left( x,y\right) \)を特定します。時点\(t\)における物体の位置を、\begin{equation*}\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) \right)
\end{equation*}で表記します。以下の条件\begin{equation}
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}=4\cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}
\quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす時点\(t_{0}\)における物体の位置\begin{equation*}\left( x\left( t_{0}\right) ,y\left( t_{0}\right) \right)
\end{equation*}を特定することが目標です。物体は曲線\(\left( 1\right) \)上に存在するため、\begin{equation*}y\left( t\right) =\left[ x\left( t\right) \right] ^{2}-2x\left( t\right) +3
\end{equation*}が成り立ちます。両辺を\(t\)について微分すると、\begin{equation*}\frac{dy\left( t\right) }{dt}=2x\left( t\right) \cdot \frac{dx\left(
t\right) }{dt}-2\cdot \frac{dx\left( t\right) }{dt}
\end{equation*}となるため、時点\(t_{0}\)においても、\begin{equation}\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}=2x\left( t_{0}\right) \cdot \frac{dx\left(
t_{0}\right) }{dt}-2\cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt} \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(2\right) ,\left( 3\right) \)から\(\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt}\)を消去すると、\begin{equation*}4\cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}=2x\left( t_{0}\right) \cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}-2\cdot \frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt}
\end{equation*}を得るため、これを解くと、\begin{equation*}
x\left( t_{0}\right) =3
\end{equation*}を得ます。これと\(\left(1\right) \)より、\begin{eqnarray*}y\left( t_{0}\right) &=&3^{2}-2\cdot 3+3 \\
&=&9-6+3 \\
&=&6
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\left( x\left( t_{0}\right) ,y\left( t_{0}\right) \right) =\left( 3,6\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
演習問題
問題（辺の長さの変化率と体積の変化率の関係）
立方体の体積が毎分\(2\)立方メートルずつ増加しているものとします。立方体の一辺の長さが\(8\)メートルに到達した瞬間における、立方体の表面積の変化率を特定してください。
問題（内角の大きさの変化率と辺の長さの変化率の関係）
三角形\(ABC\)について、辺\(AB\)の長さが\(1\)メートルであり、辺\(AC\)の長さが\(2\)メートルであるものとします。\(AB\)と\(AC\)によって挟まれる角の大きさが毎秒\(3\)度ずつ大きくなるものとします。その角が\(60\)度に到達した瞬間における辺\(BC\)の長さの変化率を求めてください。
問題（住宅着工戸数の変化率と住宅ローン金利の変化率の関係）
時点\(t\)における住宅着工戸数\(H\left( t\right) \)と住宅ローン金利\(r\left( t\right) \)の間には以下の関係\begin{equation*}8H\left( t\right) ^{2}+r\left( t\right) =36
\end{equation*}が成立するものとします。ただし、\(t\)の単位は「年」であり、\(H\)の単位は「百万」であり、\(r\)の単位は「年率（パーセント）」です。住宅ローン金利の年率が\(4\)パーセントであり、なおかつ金利の上昇率が\(0.25\)パーセントであるような時点における住宅着工数の変化率を求めてください。
\end{equation*}が成立するものとします。ただし、\(t\)の単位は「年」であり、\(H\)の単位は「百万」であり、\(r\)の単位は「年率（パーセント）」です。住宅ローン金利の年率が\(4\)パーセントであり、なおかつ金利の上昇率が\(0.25\)パーセントであるような時点における住宅着工数の変化率を求めてください。
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