教材一覧
教材一覧
教材検索

1変数関数の微分

偶関数と奇関数の微分とマクローリン展開

目次

Twitterで共有
メールで共有

偶関数の定義

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in X:-x\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす場合、これを偶関数(even function)と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、関数\(f\)が点\(x\)において定義されている場合には点\(-x\)においても定義されていることを意味します。関数\(f\)の定義域が\(\mathbb{R} \)である場合、条件\(\left(a\right) \)は明らかに満たされます。2つの点\(x,-x\)は\(y\)軸に対して対称的な位置にありますが、条件\(\left( b\right) \)より、\(f\)がこれらに対して定める値\(f\left( x\right) ,f\left( -x\right) \)は一致します。したがって、偶関数のグラフは\(y\)軸に対して対称的な形をしています。

例(偶関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x=\left( -x\right) ^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は偶関数です。
例(偶関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について\(-x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であるとともに、\begin{equation*}\frac{1}{x}=\frac{1}{\left( -x\right) ^{2}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は偶関数です。
例(偶関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は偶関数です。
例(偶関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\cos \left( x\right) =\cos \left( -x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は偶関数です(演習問題)。

 

奇関数の定義

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in X:-x\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in X:f\left( x\right) =-f\left( -x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす場合、これを奇関数(even function)と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、関数\(f\)が点\(x\)において定義されている場合には点\(-x\)においても定義されていることを意味します。関数\(f\)の定義域が\(\mathbb{R} \)である場合、条件\(\left(a\right) \)は明らかに満たされます。2つの点\(x,-x\)は\(y\)軸に対して対称的な位置にありますが、条件\(\left( b\right) \)より、\(f\)がこれらに対して定める値\(f\left( x\right) ,f\left( -x\right) \)は\(x\)軸に対して対称的な位置にあります。したがって、奇関数のグラフは原点に対して対称的な形をしています。

例(奇関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x=-\left( -x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は奇関数です。
例(奇関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について\(-x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であるとともに、\begin{equation*}\frac{1}{x}=-\left( -\frac{1}{x}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は奇関数です。
例(奇関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x^{3}=-\left( -x\right) ^{3}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は奇関数です。
例(奇関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\sin \left( x\right) =-\sin \left( -x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は奇関数です(演習問題)。
例(奇関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\tan \left( x\right) =-\tan \left( -x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は奇関数です(演習問題)。

奇関数\(f\)が点\(0\)において定義されている場合、そこでの\(f\left( x\right) \)の値は\(0\)になります。つまり、奇関数のグラフは原点を通過します。

命題(奇関数のグラフは原点を通過する)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が奇関数であるとともに\(0\in X\)である場合には、\begin{equation*}f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

偶関数の導関数は奇関数

偶関数が微分可能である場合、その導関数は奇関数になります。

命題(偶関数の導関数は奇関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が偶関数であるとともに微分可能であるならば、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は奇関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:f^{\prime }\left( x\right) =-f^{\prime }\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(偶関数の導関数は奇関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能な偶関数であるため、先の命題より、導関数\(f^{\prime }\)は奇関数です。実際、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =2x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めますが、\begin{eqnarray*}
-f^{\prime }\left( -x\right) &=&-2\left( -x\right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&2x \\
&=&f^{\prime }\left( x\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f^{\prime }\)は奇関数です。
例(偶関数の導関数は奇関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能な偶関数であるため、先の命題より、導関数\(f^{\prime }\)は奇関数です。実際、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めますが、\begin{eqnarray*}
-f^{\prime }\left( -x\right) &=&-\left[ -\sin \left( -x\right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\sin \left( -x\right) \\
&=&-\sin \left( x\right) \quad \because \sin \left( x\right) =-\sin \left(
-x\right) \\
&=&f^{\prime }\left( x\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f^{\prime }\)は奇関数です。

 

奇関数の導関数は偶関数

奇関数が微分可能である場合、その導関数は偶関数になります。

命題(奇関数の導関数は偶関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が奇関数であるとともに微分可能であるならば、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は偶関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:f^{\prime }\left( x\right) =f^{\prime }\left( -x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(奇関数の導関数は偶関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能な奇関数であるため、先の命題より、導関数\(f^{\prime }\)は偶関数です。実際、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めますが、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( -x\right) &=&1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&f^{\prime }\left( x\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f^{\prime }\)は偶関数です。
例(奇関数の導関数は偶関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能な奇関数であるため、先の命題より、導関数\(f^{\prime }\)は偶関数です。実際、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めますが、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( -x\right) &=&\cos \left( -x\right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&\cos \left( x\right) \quad \because \cos \left( x\right) =\cos \left(
-x\right) \\
&=&f^{\prime }\left( x\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f^{\prime }\)は偶関数です。

 

偶関数の高階微分

偶関数\(f\)が点\(0\)において\(n\)階微分可能である場合、\(n\)が奇数ならば、\(f\)の点\(0\)における\(n\)階微分係数は\(0\)となります。

命題(偶関数の高階微分)
偶関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(0\in X\)において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)が奇数ならば、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(偶関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(n\)階微分な偶関数であるため、先の命題より、任意の奇数\(n\)について、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&2x \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2 \\
f^{\left( 3\right) }\left( x\right) &=&0 \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&0 \\
f^{\left( 5\right) }\left( x\right) &=&0 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
0=f^{\prime }\left( 0\right) =f^{\left( 3\right) }\left( 0\right) =f^{\left(
5\right) }\left( 0\right) =\cdots
\end{equation*}が成立しています。

例(偶関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(n\)階微分な偶関数であるため、先の命題より、任意の奇数\(n\)について、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\cos \left( x\right) \\
f^{\left( 3\right) }\left( x\right) &=&\sin \left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
f^{\left( 5\right) }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
0=f^{\prime }\left( 0\right) =f^{\left( 3\right) }\left( 0\right) =f^{\left(
5\right) }\left( 0\right) =\cdots
\end{equation*}が成立しています。

 

奇関数の高階微分

奇関数\(f\)が点\(0\)において\(n\)階微分可能である場合、\(n\)が偶数ならば、\(f\)の点\(0\)における\(n\)階微分係数は\(0\)となります。

命題(奇関数の高階微分)
奇関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(0\in X\)において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)が偶数ならば、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(奇関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(n\)階微分な奇関数であるため、先の命題より、任意の偶数\(n\)について、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&1 \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&0 \\
f^{\left( 3\right) }\left( x\right) &=&0 \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&0 \\
f^{\left( 5\right) }\left( x\right) &=&0 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
0=f^{\prime \prime }\left( 0\right) =f^{\left( 4\right) }\left( 0\right)
=f^{\left( 6\right) }\left( 0\right) =\cdots
\end{equation*}が成立しています。

例(奇関数の高階微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(n\)階微分な奇関数であるため、先の命題より、任意の偶数\(n\)について、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。実際、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( x\right) \\
f^{\left( 3\right) }\left( x\right) &=&-\cos \left( x\right) \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\sin \left( x\right) \\
f^{\left( 5\right) }\left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
0=f^{\prime \prime }\left( 0\right) =f^{\left( 4\right) }\left( 0\right)
=f^{\left( 6\right) }\left( 0\right) =\cdots
\end{equation*}が成立しています。

 

偶関数のマクローリン近似多項式とマクローリン展開

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(0\in X\)において\(n\)階微分可能である場合、\(f\)の\(n\)次のマクローリン近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( 0\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&f\left( 0\right) +f^{\prime }\left( 0\right) \cdot x+\frac{f^{\prime
\prime }\left( 0\right) }{2!}\cdot x^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n\right)
}\left( 0\right) }{n!}\cdot x^{n}
\end{eqnarray*}と定義されます。つまり、マクローリン近似多項式は変数\(x,x^{2},x^{3},\cdots \)に関する多項式関数です。

先の命題を踏まえると、偶関数のマクローリン近似多項式は偶数次の変数\(x^{2},x^{4},\cdots \)に関する多項式関数になることが保証されます。マクローリン級数についても同様です。