連続な多変数関数による連結集合の像
区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域\(I\)上で連続である場合、\(f\)による\(I\)の像、すなわち\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( I\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in I\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上の区間になることが保証されます。実数空間\(\mathbb{R} \)において、その部分集合\(I\)が区間であることと、\(I\)が連結集合であることは必要十分です。したがって、先の命題において「区間」を「連結集合」に置き換えることができます。つまり、連続関数による連結集合の像は連結集合であるということです。
多変数関数に関しても同様の主張が成り立ちます。つまり、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合\(X\)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域\(X\)上において連続である場合、\(f\)による\(X\)の像、すなわち\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上の連結集合になることが保証されます。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の連結集合である。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は原点\(\left( 0,1\right) \)が中心で半径が\(1\)であるような円盤であり、\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。また、\(f\)は多変数の多項式関数であるため\(X\)上で連続です。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}ですが、区間は\(\mathbb{R} \)上の連結集合であるため\(f\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の連結集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
連結集合の連続逆像
連続な多変数関数による連結集合の像は連結集合になることが明らかになりました。では、連続な多変数関数による連結集合の逆像は連結集合になることは保証されるのでしょうか。順番に検証します。
連結集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)上の連結集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上の連結集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続です。以下の集合\begin{equation*}Y=\left( -\infty ,0\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。区間は連結集合であるため\(Y\)は\(\mathbb{R} \)上の連結集合です。その一方で、\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合ではありません（演習問題）。
連続な多変数値関数による連結集合の逆像は連結集合になるとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとでは、連続な多変数関数による連結集合の逆像が連結集合になることを保証できるのでしょうか。
連結集合上に定義された多変数関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)が単射である場合、その終集合を値域に制限して、\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow f\left( X\right)
\end{equation*}とすれば\(f\)は全単射になるため、その逆写像である1変数のベクトル値関数\begin{equation*}f^{-1}:\mathbb{R} \supset f\left( X\right) \rightarrow X
\end{equation*}が存在することが保証されます。さらに\(f^{-1}\)が\(f\left( X\right) \)上において連続である場合、\(f\left(X\right) \)上の連結集合\(Y\)を任意に選べば、\(f^{-1}\)による\(Y\)の像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ y\in f\left( X\right) \ |\ f^{-1}\left(
y\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上の連結集合になります。逆写像\(f^{-1}\)による\(Y\)の像は、もとの写像\(f\)による\(Y\)の逆像と一致するため、\(f^{-1}\left( Y\right) \)は\(f\)による\(Y\)の逆像でもあります。
\end{equation*}は\(X\)上の連結集合である。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は放物線であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため\(X\)上で連続です。したがって、\(f\)による\(X\)の像は\(\mathbb{R} \)上の連結集合です。実際、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\wedge y=x^{2}\right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}ですが、\(\mathbb{R} \)は連結集合です。\(f\)は\(X\)上で単射であり、逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow X\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、先の命題より、\(f\left(X\right) \)すなわち\(\mathbb{R} \)上の連結集合\(Y\)を任意に選んだとき、\(f\)による\(Y\)の逆像は\(X\)上の連結集合です（演習問題）。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による以下の集合\begin{equation*}Y=\left( -\infty ,0\right) \subset \mathbb{R} \end{equation*}の逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合ではないことを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は放物線であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため\(X\)上で連続です。したがって、\(f\)による\(X\)の像は\(\mathbb{R} \)上の連結集合です。本文中の議論より、\begin{equation*}f\left( X\right) =\mathbb{R} \end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- \(f\)が\(X\)上で単射であることを示してください。
- 逆写像\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow X\)を具体的に求めた上で、それが\(\mathbb{R} \)上で連続であることを示してください。
- 以下の集合\begin{equation*}Y=\left[ 0,2\right] \end{equation*}に注目します。\(f\)による\(Y\)の逆像を具体的に特定した上で、それが\(X\)上の連結集合であることを示してください。
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