ノルム関数の定義と具体例

ノルム関数

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、そのノルム\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert &=&\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}
\\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
\end{eqnarray*}が1つの実数として定まることが保証されるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に多変数関数\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これをノルム関数（norm function）と呼びます。

合成関数としてのノルム関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}
\end{equation*}を定め、1変数関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの非負の実数\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して以下の実数\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は\(g\)の定義域の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathbb{R} _{+}
\end{equation*}が成り立つため合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して以下の実数\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) &=&g\left( f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \quad \because \text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、ノルム関数\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)は多変数の多項式関数\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)と1変数の無理関数\(\sqrt{x}\)の合成関数であるということです。以上の事実は、後にノルム関数について分析する際に役に立ちます。

ノルム関数の基本性質

ノルム関数に関して以下が成り立ちます。

ノルムと距離の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらのベクトル差\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるため、そのノルム\(\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \)をとることができますが、これは2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)の間の距離と一致します。

ノルム関数の値域

ノルム関数は任意の非負の実数を値としてとります。

ノルム関数との合成関数

1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}とノルム関数\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の値域は\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)の定義域の部分集合であるため、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つため合成関数\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \circ f\right) \left( x\right)
&=&\left\Vert f\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}はベクトル値関数\(f\)の成分関数です。

ノルム関数\begin{equation*}
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と1変数の実数値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}\subset X\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \right) \left(
\boldsymbol{x}\right) =f\left( \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \right)
\end{equation*}を定めます。

演習問題