連続な多変数関数によるコンパクト集合の像
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合\(X\)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域\(X\)上において連続である場合、\(f\)による\(X\)の像、すなわち\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることが保証されます。
命題（連続な多変数関数によるコンパクト集合の像）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。この場合、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合である。
例（連続な多変数関数によるコンパクト集合の像）
任意の\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)を用いて定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界閉区間\begin{eqnarray*}\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] &=&\prod\limits_{i=1}^{n}\left[
a_{i},b_{i}\right] \\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{eqnarray*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるため、有界閉区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \)上で連続である場合、先の命題より\(f\)による\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \)の像は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
a_{i},b_{i}\right] \\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{eqnarray*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるため、有界閉区間上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset \left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \)上で連続である場合、先の命題より\(f\)による\(\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] \)の像は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。
例（連続な多変数関数によるコンパクト集合の像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であり\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上で連続です。\(f\)による\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{
f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+y\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,2\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であり\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上で連続です。\(f\)による\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{
f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x+y\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,2\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（連続な多変数関数によるコンパクト集合の像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であり\(f\)は\(X\)上で連続です。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であり\(f\)は\(X\)上で連続です。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
コンパクト集合の連続像定理が要求する条件の吟味
連続な多変数関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。では、これら2つの条件は必須なのでしょうか。順番に検討します。
まずは、多変数関数が連続である一方で定義域がコンパクト集合ではないケースです。
例（定義域が有界ではない連続な多変数関数の像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合ですが有界ではないためコンパクト集合ではありません。また、\(f\)は\(X\)上で連続です。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\mathbb{R} \end{equation*}ですが、これは有界ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合ですが有界ではないためコンパクト集合ではありません。また、\(f\)は\(X\)上で連続です。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\mathbb{R} \end{equation*}ですが、これは有界ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
例（定義域が閉集合ではない連続な多変数関数の像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界集合ですが閉集合ではないためコンパクト集合ではありません。また、\(f\)は\(X\)上で連続です。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}ですが、これは閉集合ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界集合ですが閉集合ではないためコンパクト集合ではありません。また、\(f\)は\(X\)上で連続です。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}ですが、これは閉集合ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
続いて、多変数関数が連続ではない一方で定義域がコンパクト集合であるケースです。
例（定義域はコンパクトだが連続ではない多変数関数による像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ですが\(f\)は\(X\)上でではありません。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =(0,1] \end{equation*}ですが、これは閉集合ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
\begin{array}{cc}
\sqrt{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ですが\(f\)は\(X\)上でではありません。\(f\)による\(X\)の像は、\begin{equation*}f\left( X\right) =(0,1] \end{equation*}ですが、これは閉集合ではないため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではありません（演習問題）。
コンパクト集合の連続逆像
連続関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが明らかになりました。では、連続関数によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合になることは保証されるのでしょうか。順番に検証します。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（連続関数によるコンパクト集合の逆像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。集合\(\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \)は有限集合であるため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ 0\in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。集合\(\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \)は有限集合であるため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。その一方で、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ 0\in \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合ではありません。
その一方で、連続関数\(f\)の定義域がコンパクト集合である場合には、\(f\)によるコンパクト集合の逆像はコンパクト集合になることが保証されます。
命題（コンパクト集合の連続逆像）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(Y\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( Y\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\right\}
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合である。
\end{equation*}は\(X\)上のコンパクト集合である。
例（コンパクト集合の連続逆像）
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界閉区間\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] =\left[ 0,1\right] \times \cdots
\times \left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)がコンパクトではありませんでしたが、この例では定義域が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合である\(\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \)に入れ替わっています。集合\(\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \)は有限集合であるため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。さらに、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in
\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in
\left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \ |\ 0\in
\left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。
\times \left[ 0,1\right] \end{equation*}上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset \prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)がコンパクトではありませんでしたが、この例では定義域が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合である\(\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \)に入れ替わっています。集合\(\left\{ 0\right\} \subset \mathbb{R} \)は有限集合であるため\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。さらに、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left\{ 0\right\} \right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in
\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in
\left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \ |\ 0\in
\left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。
演習問題
問題（定義域が有界ではない連続な多変数関数の像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=x^{2}\right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- \(f\)が\(X\)上の連続関数であることを示してください。
- \(X\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合であることを示してください。
- \(X\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界集合ではないことを示してください。
- \(f\)による\(X\)の像が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことを示してください。
問題（定義域が閉集合ではない連続な多変数関数の像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- \(f\)が\(X\)上の連続関数であることを示してください。
- \(X\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界集合であることを示してください。
- \(X\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合ではないことを示してください。
- \(f\)による\(X\)の像が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことを示してください。
問題（定義域はコンパクトだが連続ではない多変数関数による像）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sqrt{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
\begin{array}{cc}
\sqrt{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- \(f\)が\(X\)上の連続関数ではないことを示してください。
- \(X\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合であることを示してください。
- \(f\)による\(X\)の像が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合ではないことを示してください。
問題（多変数関数による点列コンパクト集合の像）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について、\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとします。本文中で示したように、この場合、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。コンパクト集合であることと点列コンパクト集合であることは必要十分であるため、先の命題において「コンパクト集合」を「点列コンパクト集合」に入れ替えた主張もまた成り立ちます。つまり、\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列コンパクト集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるならば、\(f\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の点列コンパクト集合です。以上の主張を点列コンパクト集合の定義を用いて証明してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合です。コンパクト集合であることと点列コンパクト集合であることは必要十分であるため、先の命題において「コンパクト集合」を「点列コンパクト集合」に入れ替えた主張もまた成り立ちます。つまり、\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列コンパクト集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるならば、\(f\left( X\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の点列コンパクト集合です。以上の主張を点列コンパクト集合の定義を用いて証明してください。
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