多変数関数に関する最大値・最小値の定理（極値定理）

多変数関数の最大値

実数空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、その最大値\(\max A\)とは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:x\leq \max A
\end{eqnarray*}を満たす実数として定義されます。つまり、\(A\)の最大値とは\(A\)の任意の要素以上であるような\(A\)の要素です。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最大値\begin{equation*}\max f\left( X\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。これを関数\(f\)の\(X\)における最大値（maximum value of a function \(f\) on \(X\)）と呼びます。定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) =\max f\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \leq \max f\left( X\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

多変数関数の最小値

実数空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、その最小値\(\min A\)とは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \min A\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A:\min A\leq x
\end{eqnarray*}を満たす実数として定義されます。つまり、\(A\)の最小値とは\(A\)の任意の要素以下であるような\(A\)の要素に相当します。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域は、\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これは\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最小値\begin{equation*}\min f\left( X\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。これを関数\(f\)の\(X\)における最小値（minimum value of a function \(f\) on \(X\)）と呼びます。定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) =\min f\left( X\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in X:\min f\left( X\right) \leq
f\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

最大値・最小値の定理

先に例を通じて確認したように、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)において最大値や最小値を持つとは限りません。では、どのような条件のもとで\(f\)の最大値や最小値が存在するのでしょうか。順番に解説します。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるとともに、\(f\)は定義域\(X\)上で連続であるものとします。このとき、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上のコンパクト集合になることは先に示した通りです。

\(\mathbb{R} \)の部分集合がコンパクト集合であることは、それが有界な閉集合であることと必要十分です。いずれにせよ、先の命題から以下を導くことができます。これを最大値・最小値の定理（extreme value theorem）や極値定理（extreme value theorem）などと呼びます。

コンパクト集合上に定義された多変数関数が連続である場合には、最大値・最小値の定理より、その関数は定義域において最大値や最小値をとることが保証されます。ただ、最大値・最小値の定理は最大値や最小値の存在を保証するだけであり、最大値や最小値を特定する方法までは教えてくれません。多変数関数の最大点や最小点を特定する手法は別途に要請されます。微分可能な多変数関数を対象とした場合、多変数関数の最大値や最小値およびそれらを実現する定義域上の点を特定する方法が知られています。詳細は場を改めて解説します。

最大値・最小値の定理が要求する条件の吟味

最大値・最小値の定理はコンパクト集合上に定義された多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上において連続であることを条件として要求しています。最大値・最小値の定理の主張が成り立つことを担保する上でこの条件は必須なのでしょうか。順番に考えます。

最大値・最小値の定理は関数\(f\)がコンパクト集合上に定義された連続関数であることを要求します。\(f\)の定義域がコンパクト集合ではない場合、\(f\)は定義域上において最大値や最小値をとるとは限りません。以下の例より明らかです。

関数\(f\)の定義域がコンパクト集合である一方で\(f\)が連続関数ではない場合にも、\(f\)は定義域上において最大値や最小値をとるとは限りません。まずは\(f\)が定義域の内点において連続ではない例を挙げます。

続いて、\(f\)が定義域の境界点において連続ではない例を挙げます。

演習問題