対称差事象は可測
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\subset 2^{\Omega }\)は可測空間の公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \left\{ A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たすとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は確率論の公理\begin{eqnarray*}&&\left( P_{1}\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:P\left( A\right) \geq 0 \\
&&\left( P_{2}\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( P_{3}\right) \ \forall \text{排反な}\left\{
A_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\subset \mathcal{F}:P\left( \bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\right) =\sum_{n\in \mathbb{N} }P\left( A_{n}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、対称差事象の確率に関してはどのようなことが言えるのでしょうか。以上の疑問に答える前に、対称差事象が可測であることを確認します。
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(\mathcal{F}\)は対称差について閉じている。
対称差事象の確率
事象空間\(\mathcal{F}\)が差集合について閉じていることが確認できました。つまり、事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\Delta B\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はその確率\(P\left( A\Delta B\right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、これに関しては、\begin{equation*}P\left( A\Delta B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -2P\left( A\cap
B\right)
\end{equation*}が成り立つことが確率論の公理より導かれます。
B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
A\right) \quad \because \text{対称差の定義} \\
&=&A\cup \phi \\
&=&A
\end{eqnarray*}が成立するため、\begin{equation*}
P\left( A\Delta \phi \right) =P\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。同じことを先の命題から導くと、\begin{eqnarray*}
P\left( A\Delta \phi \right) &=&P\left( A\right) +P\left( \phi \right)
-2P\left( A\cap \phi \right) \quad \because \text{対称差事象の確率} \\
&=&P\left( A\right) +P\left( \phi \right) -2P\left( \phi \right) \quad
\because A\cap \phi =\phi \\
&=&P\left( A\right) +0-0\quad \because P\left( \phi \right) =0 \\
&=&P\left( A\right)
\end{eqnarray*}となるため、同じ結果が導かれました。
演習問題
\Omega =\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}です。事象空間として、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}を採用するとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }=\frac{\left\vert A\right\vert }{6}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。以上を踏まえた上で、「奇数の目が出る」という事象と「\(4\)以上の目が出る」という事象の対称差事象の確率を求めてください。
\Omega =\left\{ \left( i,j\right) \ |\ i,j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6\right\}
\right\}
\end{equation*}です。事象空間として、\begin{equation*}
\mathcal{F}=2^{\Omega }
\end{equation*}を採用するとともに、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの事象\(A\in \mathcal{F}\)に対して、\begin{equation*}P\left( A\right) =\frac{\left\vert A\right\vert }{\left\vert \Omega
\right\vert }=\frac{\left\vert A\right\vert }{36}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。以上を踏まえた上で、「1回目に偶数が出る」という事象と「2回目に偶数が出る」という事象の対称差事象の確率を求めてください。
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