確認テスト I（関数の積分）

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各15点）。

1. 上リーマン和\(U\left( f,P\right) \)と下リーマン和\(L\left( f,P\right) \)を求めてください。
2. この関数\(f\)がリーマン積分可能かどうか判定してください。

以下の問いに答えてください（各8点）。

1. 以下の不定積分\begin{equation*}\int \frac{x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}dx
   \end{equation*}を求めてください。
2. 以下の不定積分\begin{equation*}\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx
   \end{equation*}を求めてください。
3. 以下の不定積分\begin{equation*}\int \frac{1}{x^{2}-1}dx
   \end{equation*}を求めてください。
4. 以下の不定積分\begin{equation*}\int xe^{x}dx
   \end{equation*}を求めてください。
5. 以下の不定積分\begin{equation*}\int \frac{x^{3}}{x^{2}+1}dx
   \end{equation*}を求めてください。

水槽に水を注入します。ポンプの出力調整により、流入速度は時間とともに変化します。時点\(t\geq 0\)における流入速度が、\begin{equation*}v\left( t\right) =6te^{-\frac{t}{2}}
\end{equation*}であるものとします。時間の単位は「分」であり、水量の単位は「リットル」です。また、初期時点\(t=0\)において水槽は空であるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 時点\(t\)における水槽内の水量\(V\left( t\right) \)を求めてください。
2. 流入速度が最大になる時点と、そのときの流入速度を求めてください。
3. この水槽の最大容量は\(25\)リットルですが、水槽は満水になるでしょうか。