正接関数と正割関数のべきの積の積分
正接関数\(\tan \left( x\right) \)と正割関数\(\sec \left( x\right) \)の定義域はともに、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であるため、任意の\(k\in \mathbb{Z} \)について、以下の区間\begin{equation*}\left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)
\end{equation*}上で定義されています。さらに、両者はともに連続であるため原始関数が存在するとともに、それは不定積分と一致します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\int \tan \left( x\right) dx &=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right)
\right\vert \right) +C \\
&=&\ln \left( \left\vert \sec \left( x\right) \right\vert \right) +C\quad
\because \sec \left( x\right) =\frac{1}{\cos \left( x\right) }
\end{eqnarray*}であり、\begin{equation*}
\int \sec \left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert \sec \left( x\right)
+\tan \left( x\right) \right\vert \right) +C
\end{equation*}です。さらに、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\tan \left( x\right) &=&\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) } \\
&=&\sec ^{2}\left( x\right) \quad \because \sec \left( x\right) =\frac{1}{\cos \left( x\right) }
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\int \sec ^{2}\left( x\right) dx=\tan \left( x\right) +C
\end{equation*}であり、また、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\sec \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{1}{\cos \left(
x\right) } \\
&=&\frac{\sin \left( x\right) }{\cos ^{2}\left( x\right) } \\
&=&\frac{1}{\cos \left( x\right) }\cdot \frac{\sin \left( x\right) }{\cos
\left( x\right) } \\
&=&\sec \left( x\right) \tan \left( x\right)
\end{eqnarray*}ゆえに、\begin{equation*}
\int \sec \left( x\right) \tan \left( x\right) dx=\sec \left( x\right) +C
\end{equation*}です。結果をまとめると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \int \tan \left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert \sec
\left( x\right) \right\vert \right) +C \\
&&\left( b\right) \ \int \sec \left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert \sec
\left( x\right) +\tan \left( x\right) \right\vert \right) +C \\
&&\left( c\right) \ \int \sec ^{2}\left( x\right) dx=\tan \left( x\right) +C
\\
&&\left( d\right) \ \int \sec \left( x\right) \tan \left( x\right) dx=\sec
\left( x\right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
以上を踏まえた上で、以下では正接関数と正割関数のべきの積の積分\begin{equation*}
\int \tan ^{n}\left( x\right) \sec ^{m}\left( x\right) dx
\end{equation*}の計算方法について解説します。ただし、\(n,m\)は非負の整数です。
正割の指数が偶数の場合
被積分関数\(\tan ^{n}\left( x\right) \sec^{m}\left( x\right) \)において正割の指数\(m\)が偶数である場合について考えます。この場合、被積分関数に含まれる\(\sec ^{m}\left(x\right) \)から\(\sec ^{2}\left( x\right) \)を分離して、\begin{equation*}\sec ^{m}\left( x\right) =\sec ^{m-2}\left( x\right) \sec ^{2}\left(
x\right)
\end{equation*}と変形します。\(m\)は偶数であるため\(m-2\)もまた偶数であることに注意してください。したがって、以下の関係\begin{equation*}\sec ^{2}\left( x\right) =\tan ^{2}\left( x\right) +1
\end{equation*}を用いることにより、\(\sec ^{m-2}\left( x\right) \)を\(\tan \left( x\right) \)に関する式に変形できます。以上の要領で被積分関数を変形した上で、\begin{equation*}u=g\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}とおく形で置換積分を行います。逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arctan \left( u\right)
\end{equation*}ですが、置換積分の後に、\begin{eqnarray*}
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du} &=&\frac{d}{du}\arctan \left( u\right) \\
&=&\frac{1}{1+u^{2}} \\
&=&\frac{1}{1+\tan ^{2}\left( x\right) } \\
&=&\frac{1}{\sec ^{2}\left( x\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=\frac{1}{\sec ^{2}\left( x\right) }
\end{equation*}であるという事実を利用すれば、被積分関数を\(u\)に関する関数として表現できます。
改めて整理すると、被積分関数\(\tan ^{n}\left( x\right) \sec^{m}\left( x\right) \)から\(\sec ^{2}\left( x\right) \)を分離して、\begin{equation*}\tan ^{n}\left( x\right) \sec ^{m-2}\left( x\right) \sec ^{2}\left( x\right)
\end{equation*}とした場合、\(\sec ^{2}\left( x\right) \)以外の部分\begin{equation*}\tan ^{n}\left( x\right) \sec ^{m-2}\left( x\right)
\end{equation*}を\(u=\tan \left( x\right) \)に関する式に変形できる場合には、この手法を利用します。
\int \tan ^{4}\left( x\right) \sec ^{6}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。正接関数の指数は\(4\)であり、正割関数の指数は\(6\)です。そこで、\begin{eqnarray*}\int \tan ^{4}\left( x\right) \sec ^{6}\left( x\right) dx &=&\int \tan
^{4}\left( x\right) \sec ^{4}\left( x\right) \sec ^{2}\left( x\right) dx \\
&=&\int \tan ^{4}\left( x\right) \left[ \tan ^{2}\left( x\right) +1\right] ^{2}\sec ^{2}\left( x\right) dx\quad \because \sec ^{2}\left( x\right) =\tan
^{2}\left( x\right) +1
\end{eqnarray*}と変形します。その上で、\begin{equation}
u=g\left( x\right) =\tan \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arctan \left( u\right)
\end{equation*}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できますが、ここでのポイントは、\begin{equation}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=\frac{1}{\sec ^{2}\left( x\right) }
\quad \cdots (2)
\end{equation}であるということです。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \tan ^{4}\left( x\right) \left[ \tan ^{2}\left( x\right) +1\right] ^{2}\sec ^{2}\left( x\right) dx &=&\int u^{4}\left( u^{2}+1\right) ^{2}\sec
^{2}\left( x\right) \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because
\left( 1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int u^{4}\left( u^{2}+1\right) ^{2}\sec ^{2}\left( x\right) \frac{1}{\sec ^{2}\left( x\right) }du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int u^{4}\left( u^{4}+2u^{2}+1\right) du \\
&=&\int \left( u^{8}+2u^{6}+u^{4}\right) du \\
&=&\frac{1}{9}u^{9}+\frac{2}{7}u^{7}+\frac{1}{5}u^{5}+C \\
&=&\frac{1}{9}\tan ^{9}\left( x\right) +\frac{2}{7}\tan ^{7}\left( x\right) +\frac{1}{5}\tan ^{5}\left( x\right) +C\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\int \sec ^{6}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。正接関数の指数は\(0\)であり、正割関数の指数は\(6\)です。そこで、\begin{eqnarray*}\int \sec ^{6}\left( x\right) dx &=&\int \sec ^{4}\left( x\right) \sec
^{2}\left( x\right) dx \\
&=&\int \left[ \tan ^{2}\left( x\right) +1\right] ^{2}\sec ^{2}\left(
x\right) dx\quad \because \sec ^{2}\left( x\right) =\tan ^{2}\left( x\right)
+1
\end{eqnarray*}と変形します。その上で、\begin{equation}
u=g\left( x\right) =\tan \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arctan \left( u\right)
\end{equation*}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できますが、ここでのポイントは、\begin{equation}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=\frac{1}{\sec ^{2}\left( x\right) }
\quad \cdots (2)
\end{equation}であるということです。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \left[ \tan ^{2}\left( x\right) +1\right] ^{2}\sec ^{2}\left( x\right)
dx &=&\int \left( u^{2}+1\right) ^{2}\sec ^{2}\left( x\right) \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because \left( 1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( u^{2}+1\right) ^{2}\sec ^{2}\left( x\right) \frac{1}{\sec
^{2}\left( x\right) }du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \left( u^{4}+2u^{2}+1\right) du \\
&=&\frac{1}{5}u^{5}+\frac{2}{3}u^{3}+u+C \\
&=&\frac{1}{5}\tan ^{5}\left( x\right) +\frac{2}{3}\tan ^{3}\left( x\right)
+\tan \left( x\right) +C\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
正接の指数が奇数であり正割が存在する場合
被積分関数\(\tan ^{n}\left( x\right) \sec^{m}\left( x\right) \)において正接の指数の指数\(n\)が奇数であり正割の指数\(m\)が非ゼロである場合について考えます。この場合、被積分関数から\(\tan \left( x\right) \sec \left( x\right) \)を分離して、\begin{equation*}\tan ^{n}\left( x\right) \sec ^{m}\left( x\right) =\tan ^{n-1}\left(
x\right) \sec ^{m-1}\left( x\right) \tan \left( x\right) \sec \left(
x\right)
\end{equation*}と変形します。\(n\)は奇数であるため\(n-1\)は偶数であることに注意してください。したがって、以下の関係\begin{equation*}\tan ^{2}\left( x\right) =\sec ^{2}\left( x\right) -1
\end{equation*}を用いることにより、\(\tan ^{n-1}\left( x\right) \)を\(\sec \left( x\right) \)に関する式に変形できます。以上の要領で被積分関数を変形した上で、\begin{equation*}u=g\left( x\right) =\sec \left( x\right)
\end{equation*}とおく形で置換積分を行います。このとき、\begin{equation*}
u=\sec \left( x\right) =\frac{1}{\cos \left( x\right) }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\cos \left( x\right) =\frac{1}{u}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\arccos \left( \frac{1}{u}\right) =x
\end{equation*}であり、ゆえに\(g\)の逆関数は、\begin{equation*}x=g^{-1}\left( u\right) =\arccos \left( \frac{1}{u}\right)
\end{equation*}です。置換積分の後に、\begin{eqnarray*}
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du} &=&\frac{1}{\frac{dg\left( x\right) }{dx}}\quad \because \text{逆関数の微分} \\
&=&\frac{1}{\frac{d}{dx}\sec \left( x\right) } \\
&=&\frac{1}{\tan \left( x\right) \sec \left( x\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=\frac{1}{\tan \left( x\right) \sec \left(
x\right) }
\end{equation*}であるという事実を利用すれば、被積分関数を\(u\)に関する関数として表現できます。
改めて整理すると、被積分関数\(\tan ^{n}\left( x\right) \sec^{m}\left( x\right) \)から\(\tan \left( x\right) \sec \left(x\right) \)を分離して、\begin{equation*}\tan ^{n-1}\left( x\right) \sec ^{m-1}\left( x\right) \tan \left( x\right)
\sec \left( x\right)
\end{equation*}とした場合、\(\tan \left( x\right) \sec\left( x\right) \)以外の部分\begin{equation*}\tan ^{n-1}\left( x\right) \sec ^{m-1}\left( x\right)
\end{equation*}を\(u=\sec \left( x\right) \)に関する式に変形できる場合には、この手法を利用します。
\int \tan ^{5}\left( x\right) \sec ^{3}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。正接関数の指数は\(5\)であり、正割関数の指数は\(3\)です。そこで、\begin{eqnarray*}\int \tan ^{5}\left( x\right) \sec ^{3}\left( x\right) dx &=&\int \tan
^{4}\left( x\right) \sec ^{2}\left( x\right) \tan \left( x\right) \sec
\left( x\right) dx \\
&=&\int \left[ \sec ^{2}\left( x\right) -1\right] ^{2}\sec ^{2}\left(
x\right) \tan \left( x\right) \sec \left( x\right) dx\quad \because \tan
^{2}\left( x\right) =\sec ^{2}\left( x\right) -1
\end{eqnarray*}と変形します。その上で、\begin{equation}
u=g\left( x\right) =\sec \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arccos \left( \frac{1}{u}\right)
\end{equation*}となります。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できますが、ここでのポイントは、\begin{equation}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}=\frac{1}{\tan \left( x\right) \sec \left(
x\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}であるということです。したがって、\begin{eqnarray*}
\int \left[ \sec ^{2}\left( x\right) -1\right] ^{2}\sec ^{2}\left( x\right)
\tan \left( x\right) \sec \left( x\right) dx &=&\int \left( u^{2}-1\right)
^{2}u^{2}\tan \left( x\right) \sec \left( x\right) \frac{dg^{-1}\left(
u\right) }{du}du\quad \because \left( 1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) ^{2}u^{2}\tan \left( x\right) \sec \left(
x\right) \frac{1}{\tan \left( x\right) \sec \left( x\right) }du\quad
\because \left( 2\right) \\
&=&\int \left( u^{2}-1\right) ^{2}u^{2}du \\
&=&\int \left( u^{4}-2u^{2}+1\right) u^{2}du \\
&=&\int \left( u^{6}-2u^{4}+u^{2}\right) du \\
&=&\frac{1}{7}u^{7}-\frac{2}{5}u^{5}+\frac{1}{3}u^{3}+C \\
&=&\frac{1}{7}\sec ^{7}\left( x\right) -\frac{2}{5}\sec ^{5}\left( x\right) +\frac{1}{3}\sec ^{3}\left( x\right) +C\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
正接の指数が奇数であり正割が存在しない場合
被積分関数\(\tan ^{n}\left( x\right) \sec^{m}\left( x\right) \)において正接の指数の指数\(n\)が奇数であり正割の指数\(m\)がゼロである場合について考えます。つまり、\(n\)が奇数であるとともに、被積分関数が、\begin{equation*}\tan ^{n}\left( x\right)
\end{equation*}である場合です。この場合、以下の関係\begin{equation*}
\tan ^{2}\left( x\right) =\sec ^{2}\left( x\right) -1
\end{equation*}を用いて被積分関数\(\tan ^{n}\left( x\right) \)を変形し、先のパターンに持ち込むことになります。
\int \tan ^{3}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。先のパターンでは対応できないため、\begin{equation*}
\tan ^{2}\left( x\right) =\sec ^{2}\left( x\right) -1
\end{equation*}を用いて被積分関数を変形すると、\begin{eqnarray*}
\int \tan ^{3}\left( x\right) dx &=&\int \tan \left( x\right) \tan
^{2}\left( x\right) dx \\
&=&\int \tan \left( x\right) \left[ \sec ^{2}\left( x\right) -1\right] dx \\
&=&\int \left[ \tan \left( x\right) \sec ^{2}\left( x\right) -\tan \left(
x\right) \right] dx \\
&=&\int \tan \left( x\right) \sec ^{2}\left( x\right) dx-\int \tan \left(
x\right) dx
\end{eqnarray*}となります。第2項は正接関数の積分公式\begin{equation*}
\int \tan \left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert \sec \left( x\right)
\right\vert \right) +C
\end{equation*}で対応できます。第1項は最初のパターンで対応できます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\int \tan \left( x\right) \sec ^{2}\left( x\right) dx &=&\int u\sec
^{2}\left( x\right) \frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because
u=g\left( x\right) =\tan \left( x\right) \\
&=&\int u\sec ^{2}\left( x\right) \frac{1}{\sec ^{2}\left( x\right) }du \\
&=&\int udu \\
&=&\frac{1}{2}u^{2}+C \\
&=&\frac{1}{2}\tan ^{2}\left( x\right) +C
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
\int \tan ^{3}\left( x\right) dx=\frac{1}{2}\tan ^{2}\left( x\right) -\ln
\left( \left\vert \sec \left( x\right) \right\vert \right) +C
\end{equation*}を得ます。
正接の指数が偶数であり正割の指数が奇数の場合
被積分関数\(\tan ^{n}\left( x\right) \sec^{m}\left( x\right) \)において正接の指数\(n\)が偶数であり正割の指数\(m\)が奇数である場合について考えます。この場合、以下の関係\begin{equation*}\tan ^{2}\left( x\right) =\sec ^{2}\left( x\right) -1
\end{equation*}を用いて被積分関数を\(\sec \left( x\right) \)に関する関数に変形します。その結果、\(\sec \left( x\right) \)に関する多項式関数が得られます。\(\sec \left( x\right) \)の奇数乗の項は最初のパターンで対応し、\(\sec \left( x\right) \)の偶数項は部分積分で対応します。
\int \tan ^{2}\left( x\right) \sec \left( x\right) dx
\end{equation*}を計算します。以下の関係\begin{equation*}
\tan ^{2}\left( x\right) =\sec ^{2}\left( x\right) -1
\end{equation*}を用いて被積分関数を変形すると、\begin{eqnarray*}
\int \tan ^{2}\left( x\right) \sec \left( x\right) dx &=&\int \left[ \sec
^{2}\left( x\right) -1\right] \sec \left( x\right) dx \\
&=&\int \left[ \sec ^{3}\left( x\right) -\sec \left( x\right) \right] dx \\
&=&\int \sec ^{3}\left( x\right) dx-\int \sec \left( x\right) dx
\end{eqnarray*}となります。第2項については、正割関数の積分公式\begin{equation*}
\int \sec \left( x\right) dx=\ln \left( \left\vert \sec \left( x\right)
+\tan \left( x\right) \right\vert \right) +C
\end{equation*}で対応できます。第1項については部分積分で対応します。具体的には、関数\(f,g\)を、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sec \left( x\right) \\
g^{\prime }\left( x\right) &=&\sec ^{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとして定義すると、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\sec \left( x\right) \tan \left( x\right) \\
g\left( x\right) &=&\tan \left( x\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\int \sec ^{3}\left( x\right) dx &=&\int \left( f\cdot g^{\prime }\right)
\left( x\right) dx \\
&=&\left( f\cdot g\right) \left( x\right) -\int \left( f^{\prime }\cdot
g\right) \left( x\right) dx\quad \because \text{部分積分} \\
&=&\sec \left( x\right) \tan \left( x\right) -\int \sec \left( x\right) \tan
\left( x\right) \tan \left( x\right) dx \\
&=&\sec \left( x\right) \tan \left( x\right) -\int \sec \left( x\right) \tan
^{2}\left( x\right) dx \\
&=&\sec \left( x\right) \tan \left( x\right) -\int \sec \left( x\right)
\left[ \sec ^{2}\left( x\right) -1\right] dx \\
&=&\sec \left( x\right) \tan \left( x\right) -\int \sec ^{3}\left( x\right)
dx+\int \sec \left( x\right) dx
\end{eqnarray*}を得ます。移項して整理すると、\begin{eqnarray*}
\int \sec ^{3}\left( x\right) dx &=&\frac{1}{2}\left[ \sec \left( x\right)
\tan \left( x\right) +\int \sec \left( x\right) dx\right] \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \sec \left( x\right) \tan \left( x\right) +\ln \left(
\left\vert \sec \left( x\right) +\tan \left( x\right) \right\vert \right) \right] +C \\
&=&\frac{1}{2}\sec \left( x\right) \tan \left( x\right) +\frac{1}{2}\ln
\left( \left\vert \sec \left( x\right) +\tan \left( x\right) \right\vert
\right) +C
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\int \tan ^{2}\left( x\right) \sec \left( x\right) dx &=&\frac{1}{2}\sec
\left( x\right) \tan \left( x\right) +\frac{1}{2}\ln \left( \left\vert \sec
\left( x\right) +\tan \left( x\right) \right\vert \right) -\ln \left(
\left\vert \sec \left( x\right) +\tan \left( x\right) \right\vert \right) +C
\\
&=&\frac{1}{2}\sec \left( x\right) \tan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln
\left( \left\vert \sec \left( x\right) +\tan \left( x\right) \right\vert
\right) +C
\end{eqnarray*}を得ます。
演習問題
\int \tan \left( x\right) \sec ^{2}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
\int \tan ^{3}\left( x\right) \sec \left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
\int \tan ^{2}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
\int \tan ^{3}\left( x\right) \sec ^{2}\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
\int \tan ^{4}\left( x\right) \sec \left( x\right) dx
\end{equation*}を計算してください。
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