三角置換

sqrt(a^x-x^2)型の関数の三角置換

正の実数\(a>0\)を用いて、\begin{equation*}\sqrt{a^{2}-x^{2}}
\end{equation*}と定義される変数\(x\)に関する関数が与えられているものとします。この関数の定義域は、\begin{equation*}\left[ -a,a\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}です。この関数は連続であるため原始関数が存在するとともに、原始関数は不定積分と一致します。以降では、このタイプの関数を積分する方法について解説します。

置換積分を見据えて、新たな変数\(\theta \in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)に関する関数\begin{equation}x=g\left( \theta \right) =a\sin \left( \theta \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。\(\left( 1\right) \)および\(a>0\)ゆえに、\begin{equation}\sin \left( \theta \right) =\frac{x}{a} \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\cos \left( \theta \right) &=&\sqrt{1-\sin ^{2}\left( \theta \right) }\quad
\because \sin ^{2}\left( \theta \right) +\cos ^{2}\left( \theta \right) =1 \\
&=&\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\sqrt{a^{2}-x}}{a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\cos \left( \theta \right) =\frac{\sqrt{a^{2}-x}}{a} \quad \cdots (3)
\end{equation}であることに注意してください。関数\(g\)は\(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \)上において狭義単調増加であるとともに値域は\(\left[ -a,a\right] \)であるため、変数\(x\in \left[ -a,a\right] \)に関する逆関数\begin{equation}\theta =g^{-1}\left( x\right) =\arcsin \left( \frac{x}{a}\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}が存在します。\(g^{-1}\)の定義域は\(\left[ -a,a\right] \)ですが、これはもとの関数\(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)の定義域と一致します。関数\(g\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx &=&\int \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\left( \theta
\right) }\cdot \frac{d}{d\theta }g\left( \theta \right) d\theta \quad
\because \left( 1\right) \text{と置換積分} \\
&=&\int \sqrt{a^{2}\left[ 1-\sin ^{2}\left( \theta \right) \right] }\cdot
a\cos \left( \theta \right) d\theta \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\int \sqrt{a^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) }\cdot a\cos \left( \theta
\right) d\theta \quad \because \sin ^{2}\left( \theta \right) +\cos
^{2}\left( \theta \right) =1 \\
&=&\int a\cos \left( \theta \right) \cdot a\cos \left( \theta \right)
d\theta \quad \because a>0\text{および}\theta \in \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right] \\
&=&\int a^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) d\theta \\
&=&a^{2}\int \cos ^{2}\left( \theta \right) d\theta
\end{eqnarray*}となります。この先は、これまで学んだ三角関数の微分技法を用いて積分を行い、さらに\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left(4\right) \)を用いて、得られた結果を変数\(x\)に関する関数に戻します。このような置換積分を特に三角置換（trigonometric substitution）と呼びます。

sqrt(a^x+x^2)型の関数の三角置換

正の実数\(a>0\)を用いて、\begin{equation*}\sqrt{a^{2}+x^{2}}
\end{equation*}と定義される変数\(x\)に関する関数が与えられているものとします。この関数の定義域は、\begin{equation*}\mathbb{R} \end{equation*}です。この関数は連続であるため原始関数が存在するとともに、原始関数は不定積分と一致します。以降では、このタイプの関数を積分する方法について解説します。

置換積分を見据えて、新たな変数\(\theta \in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に関する関数\begin{equation}x=g\left( \theta \right) =a\tan \left( \theta \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。\(\left( 1\right) \)および\(a>0\)ゆえに、\begin{equation}\tan \left( \theta \right) =\frac{x}{a} \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\sec \left( \theta \right) &=&\sqrt{1+\tan ^{2}\left( \theta \right) }\quad
\because 1+\tan ^{2}\left( \theta \right) =\sec ^{2}\left( \theta \right) \\
&=&\sqrt{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sec \left( \theta \right) =\frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a} \quad \cdots (3)
\end{equation}であることに注意してください。関数\(g\)は\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)上において狭義単調増加であるとともに値域は\(\mathbb{R} \)であるため、変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する逆関数\begin{equation}\theta =g^{-1}\left( x\right) =\arctan \left( \frac{x}{a}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が存在します。\(g^{-1}\)の定義域は\(\mathbb{R} \)ですが、これはもとの関数\(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\)の定義域と一致します。関数\(g\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int \sqrt{a^{2}+x^{2}}dx &=&\int \sqrt{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\left( \theta
\right) }\cdot \frac{d}{d\theta }g\left( \theta \right) d\theta \quad
\because \left( 1\right) \text{と置換積分} \\
&=&\int \sqrt{a^{2}\left[ 1+\tan ^{2}\left( \theta \right) \right] }\cdot
a\sec ^{2}\left( \theta \right) d\theta \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\int \sqrt{a^{2}\sec ^{2}\left( \theta \right) }\cdot a\sec ^{2}\left(
\theta \right) d\theta \quad \because 1+\tan ^{2}\left( \theta \right) =\sec
^{2}\left( \theta \right) \\
&=&\int a\sec \left( \theta \right) \cdot a\sec ^{2}\left( \theta \right)
d\theta \quad \because a>0\text{および}\theta \in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \\
&=&a^{2}\int \sec ^{3}\left( \theta \right) d\theta
\end{eqnarray*}となります。この先は、これまで学んだ三角関数の微分技法を用いて積分を行い、さらに\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left(4\right) \)を用いて、得られた結果を変数\(x\)に関する関数に戻します。これもまた三角置換のバリエーションです。

sqrt(x^2-a^2)型の関数の三角置換

正の実数\(a>0\)を用いて、\begin{equation*}\sqrt{x^{2}-a^{2}}
\end{equation*}と定義される変数\(x\)に関する関数が与えられているものとします。この関数の定義域は、\begin{equation*}(-\infty ,-a]\cup \lbrack a,+\infty )\subset \mathbb{R} \end{equation*}です。この定義域の部分集合であるような区間を想定した場合、この関数は連続であるため原始関数が存在するとともに、原始関数は不定積分と一致します。以降では、定義域が\([a,+\infty )\)である場合と\((-\infty ,-a]\)である場合のそれぞれについて、このタイプの関数を積分する方法について解説します。

まずは、関数\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)の定義域が\([a,+\infty )\)である場合について考えます。置換積分を見据えて、新たな変数\(\theta \in\lbrack 0,\frac{\pi }{2})\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( \theta \right) =a\sec \left( \theta \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。\(\left( 1\right) \)および\(a>0\)ゆえに、\begin{equation}\sec \left( \theta \right) =\frac{x}{a} \quad \cdots (2)
\end{equation}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\tan \left( \theta \right) &=&\sqrt{\sec ^{2}\left( \theta \right) -1}\quad
\because 1+\tan ^{2}\left( \theta \right) =\sec ^{2}\left( \theta \right)
\text{かつ}\theta \in \lbrack 0,\frac{\pi }{2}) \\
&=&\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\tan \left( \theta \right) =\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a} \quad \cdots (3)
\end{equation}であることに注意してください。関数\(g\)は\([0,\frac{\pi }{2})\)上において狭義単調増加であるとともに値域は\([a,+\infty )\)であるため、変数\(x\in \lbrack a,+\infty )\)に関する逆関数\begin{equation}\theta =g^{-1}\left( x\right) =\arccos \left( \frac{a}{x}\right) \quad \cdots (4)
\end{equation}が存在します。\(g^{-1}\)の定義域は\([a,+\infty )\)ですが、これはもとの関数\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)の定義域と一致します。関数\(g\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int \sqrt{x^{2}-a^{2}}dx &=&\int \sqrt{a^{2}\sec ^{2}\left( \theta \right)
-a^{2}}\cdot \frac{d}{d\theta }g\left( \theta \right) d\theta \quad \because
\left( 1\right) \text{と置換積分} \\
&=&\int \sqrt{a^{2}\left[ \sec ^{2}\left( \theta \right) -1\right] }\cdot
a\tan \left( \theta \right) \sec \left( \theta \right) d\theta \quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\int \sqrt{a^{2}\tan ^{2}\left( \theta \right) }\cdot a\tan \left( \theta
\right) \sec \left( \theta \right) d\theta \\
&=&\int a\left\vert \tan \left( \theta \right) \right\vert \cdot a\tan
\left( \theta \right) \sec \left( \theta \right) d\theta \quad \because a>0
\\
&=&\int a\cdot \tan \left( \theta \right) \cdot a\tan \left( \theta \right)
\sec \left( \theta \right) d\theta \quad \because \theta \in \lbrack 0,\frac{\pi }{2}) \\
&=&a^{2}\int \tan ^{2}\left( \theta \right) \sec \left( \theta \right)
d\theta \\
&=&a^{2}\int \left[ \sec ^{2}\left( \theta \right) -1\right] \sec \left(
\theta \right) d\theta \\
&=&a^{2}\int \left[ \sec ^{3}\left( \theta \right) -\sec \left( \theta
\right) \right] d\theta
\end{eqnarray*}となります。この先は、これまで学んだ三角関数の微分技法を用いて積分を行い、さらに\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) ,\left(4\right) \)を用いて、得られた結果を変数\(x\)に関する関数に戻します。

続いて、関数\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)の定義域が\((-\infty ,-a]\)である場合について考えます。置換積分を見据えて、新たな変数\(\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi ]\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( \theta \right) =a\sec \left( \theta \right) \quad \cdots (5)
\end{equation}を定義します。\(\left( 1\right) \)および\(a>0\)ゆえに、\begin{equation}\sec \left( \theta \right) =\frac{x}{a} \quad \cdots (6)
\end{equation}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\tan \left( \theta \right) &=&-\sqrt{\sec ^{2}\left( \theta \right) -1}\quad \because 1+\tan ^{2}\left( \theta \right) =\sec ^{2}\left( \theta
\right) \text{かつ}\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi ] \\
&=&-\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\tan \left( \theta \right) =-\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a} \quad \cdots (7)
\end{equation}であることに注意してください。関数\(g\)は\((\frac{\pi }{2},\pi ]\)上において狭義単調増加であるとともに値域は\((-\infty ,-a]\)であるため、変数\(x\in (-\infty ,-a]\)に関する逆関数\begin{equation}\theta =g^{-1}\left( x\right) =\arccos \left( \frac{a}{x}\right) \quad \cdots (8)
\end{equation}が存在します。\(g^{-1}\)の定義域は\((-\infty ,-a]\)ですが、これはもとの関数\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)の定義域と一致します。関数\(g\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int \sqrt{x^{2}-a^{2}}dx &=&\int \sqrt{a^{2}\sec ^{2}\left( \theta \right)
-a^{2}}\cdot \frac{d}{d\theta }g\left( \theta \right) d\theta \quad \because
\left( 5\right) \text{と置換積分} \\
&=&\int \sqrt{a^{2}\left[ \sec ^{2}\left( \theta \right) -1\right] }\cdot
a\tan \left( \theta \right) \sec \left( \theta \right) d\theta \quad
\because \left( 5\right) \\
&=&\int \sqrt{a^{2}\tan ^{2}\left( \theta \right) }\cdot a\tan \left( \theta
\right) \sec \left( \theta \right) d\theta \\
&=&\int a\left\vert \tan \left( \theta \right) \right\vert \cdot a\tan
\left( \theta \right) \sec \left( \theta \right) d\theta \quad \because a>0
\\
&=&\int -a\cdot \tan \left( \theta \right) \cdot a\tan \left( \theta \right)
\sec \left( \theta \right) d\theta \quad \because \theta \in (\frac{\pi }{2},\pi ] \\
&=&-a^{2}\int \tan ^{2}\left( \theta \right) \sec \left( \theta \right)
d\theta \\
&=&-a^{2}\int \left[ \sec ^{2}\left( \theta \right) -1\right] \sec \left(
\theta \right) d\theta \\
&=&-a^{2}\int \left[ \sec ^{3}\left( \theta \right) -\sec \left( \theta
\right) \right] d\theta
\end{eqnarray*}となります。この先は、これまで学んだ三角関数の微分技法を用いて積分を行い、さらに\(\left( 6\right) ,\left( 7\right) ,\left(8\right) \)を用いて、得られた結果を変数\(x\)に関する関数に戻します。

結論をまとめます。これまでの議論から明らかであるように、\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)の定義域が\([a,+\infty )\)の場合と\((-\infty ,-a]\)の場合のいずれにおいても、\begin{equation*}\int \sqrt{x^{2}-a^{2}}dx=\int a\left\vert \tan \left( \theta \right)
\right\vert \cdot a\tan \left( \theta \right) \sec \left( \theta \right)
d\theta
\end{equation*}までは一致しています。さらに、定義域が\([a,+\infty )\)の場合には\(\theta \in\lbrack 0,\frac{\pi }{2})\)ゆえに\(\tan \left( \theta\right) \geq 0\)であるため、\begin{equation*}\int \sqrt{x^{2}-a^{2}}dx=a^{2}\int \left[ \sec ^{3}\left( \theta \right)
-\sec \left( \theta \right) \right] d\theta
\end{equation*}となり、定義域が\((-\infty,-a]\)の場合には\(\theta \in (\frac{\pi }{2},\pi]\)ゆえに\(\tan \left( \theta \right) \leq 0\)であるため、\begin{equation*}\int \sqrt{x^{2}-a^{2}}dx=-a^{2}\int \left[ \sec ^{3}\left( \theta \right)
-\sec \left( \theta \right) \right] d\theta
\end{equation*}となります。ただし、最終的な結果は定義域がどちらの場合でも一致します（演習問題）。以上が関数\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)に関する三角置換のバリエーションです。

演習問題