定積分の中点対称性
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるものとします。つまり、定積分\begin{equation}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まるということです。ここで、変数\(x\)を\(a+b-x\)に置換することにより得られる関数\(f\left(a+b-x\right) \)もまた\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であることが保証されるとともに、その定積分の値が\(\left(1\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}f\left( a+b-x\right) dx
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立ちます。
先の命題はどのような意味において有用なのでしょうか。関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がリーマン積分可能である状況において、定積分を、\begin{equation*}I=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}とおくと、先の命題より、\begin{equation*}
I=\int_{a}^{b}f\left( a+b-x\right) dx
\end{equation*}もまた成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
2I &=&\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}f\left( a+b-x\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right] dx
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right] dx
\end{equation*}を得ます。つまり、もとの関数\(f\left( x\right) \)の定積分を求めることが困難である一方で、関数\(f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \)の定積分を求めることが容易である場合には、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算するかわりに、定積分\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right]
dx
\end{equation*}を計算してもよいということです。では、どのような状況において関数\(f\left( x\right) +f\left(a+b-x\right) \)がシンプルになるのでしょうか。いくつかパターンを示します。
\end{equation*}とおくと、\begin{equation*}
I=\int_{0}^{a}f\left( a-x\right) dx
\end{equation*}もまた成り立つため、\begin{eqnarray*}
2I &=&\int_{0}^{a}f\left( x\right) dx+\int_{0}^{a}f\left( a-x\right) dx \\
&=&\int_{0}^{a}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right] dx
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
I=\frac{1}{2}\int_{0}^{a}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right] dx
\end{equation*}が成り立ちます。
2つの関数の和が定数になる場合
2つの関数\(f\left( x\right) ,f\left( a+b-x\right) \)の和が定数になる場合には、すなわち、何らかの定数\(C\in \mathbb{R} \)が存在して、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) =C
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数\(f\left( x\right) \)の定積分\begin{equation*}I=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算する代わりに、関数\(f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \)の定積分を計算して、\begin{eqnarray*}I &=&\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right] dx \\
&=&\frac{1}{2}\int_{a}^{b}Cdx
\end{eqnarray*}を計算する方が簡単です。
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x^{2}+\left( 1-x\right) ^{2}}dx
\end{equation*}を計算します。もとの定積分を、\begin{equation*}
I=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{x^{2}+\left( 1-x\right) ^{2}}dx
\end{equation*}とおきます。このまま計算するのは面倒であるため、\begin{equation*}
x\rightarrow 1-x
\end{equation*}と変数を変換します。この場合の定積分は、\begin{eqnarray*}
I &=&\int_{0}^{1}\frac{\left( 1-x\right) ^{2}}{\left( 1-x\right) ^{2}+\left[
1-\left( 1-x\right) \right] ^{2}}dx \\
&=&\int_{0}^{1}\frac{\left( 1-x\right) ^{2}}{\left( 1-x\right) ^{2}+x^{2}}dx
\end{eqnarray*}です。両者を加えると、\begin{eqnarray*}
2I &=&\int_{0}^{1}\left[ \frac{x^{n}}{x^{n}+\left( 1-x\right) ^{n}}+\frac{\left( 1-x\right) ^{n}}{\left( 1-x\right) ^{n}+x^{n}}\right] dx \\
&=&\int_{0}^{1}\frac{x^{n}+\left( 1-x\right) ^{n}}{x^{n}+\left( 1-x\right)
^{n}}dx \\
&=&\int_{0}^{1}1dx \\
&=&\left[ x\right] _{0}^{1} \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
I=\frac{1}{2}
\end{equation*}となります。
2つの関数の和が低次元になる場合
2つの関数\(f\left( x\right) ,f\left( a+b-x\right) \)の和をとることによりもとの関数\(f\left( x\right) \)よりも次元が小さくなる場合には、もとの関数\(f\left( x\right) \)の定積分\begin{equation*}I=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算する代わりに、関数\(f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \)の定積分を計算して、\begin{equation*}I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right] dx
\end{equation*}を得る方が簡単です。
\int_{0}^{1}\frac{x}{1+\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}}dx
\end{equation*}を計算します。もとの定積分を、\begin{equation*}
I=\int_{0}^{1}\frac{x}{1+\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}}dx
\end{equation*}とおきます。このまま計算するのは面倒であるため、\begin{equation*}
x\rightarrow 1-x
\end{equation*}と変数を変換します。この場合の定積分は、\begin{eqnarray*}
I &=&\int_{0}^{1}\frac{1-x}{1+\left( 1-x-\frac{1}{2}\right) ^{2}}dx \\
&=&\int_{0}^{1}\frac{1-x}{1+\left( \frac{1}{2}-x\right) ^{2}}dx
\end{eqnarray*}です。両者を加えると、\begin{eqnarray*}
2I &=&\int_{0}^{1}\left[ \frac{x}{1+\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}}+\frac{1-x}{1+\left( \frac{1}{2}-x\right) ^{2}}\right] dx \\
&=&\int_{0}^{1}\frac{x+1-x}{1+\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}}dx \\
&=&\int_{0}^{1}\frac{1}{1+\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}}dx
\end{eqnarray*}となります。もとの関数\(f\left( x\right) \)の分子は\(x\)ですが、関数\(f\left( x\right) +f\left(1-x\right) \)の分子は\(1\)であり、次数が下がっています。この先は置換積分を利用します。関数\(g\)を、\begin{equation*}u=g\left( x\right) =x-\frac{1}{2}
\end{equation*}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =u+\frac{1}{2}
\end{equation*}です。積分範囲は、\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] \rightarrow \left[ g\left( 0\right) ,g\left( 1\right) \right] =\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \end{equation*}へと変換されます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}}dx &=&\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1+u^{2}}\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}dx \\
&=&\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1+u^{2}}dx \\
&=&\left[ \arctan \left( u\right) \right] _{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \\
&=&\arctan \left( \frac{1}{2}\right) -\arctan \left( -\frac{1}{2}\right) \\
&=&2\arctan \left( \frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。
被積分関数が2つの関数の和である場合
被積分関数が2つの関数\(f\left( x\right) ,f\left( a+b-x\right) \)の和である場合を想定します。つまり、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right] dx
\end{equation*}であるということです。通常のプロセスにしたがうのであれば、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right]
dx=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}f\left( a+b-x\right) dx
\end{equation*}より、右辺の2つの定積分を別々に計算することになります。そこで、以下の変数変換\begin{equation*}
x\rightarrow a+b-x
\end{equation*}のもとで2番目の項を計算すると、\begin{eqnarray*}
\int_{a}^{b}f\left( a+b-x\right) dx &=&\int_{a}^{b}f\left( a+b-\left(
a+b-x\right) \right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{eqnarray*}となり、これは1番目の項と一致します。したがって、\begin{equation*}
\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +f\left( a+b-x\right) \right]
dx=2\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を得ます。
\int_{0}^{1}\left[ \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{1-x}{1+\left( 1-x\right) ^{2}}\right] dx
\end{equation*}を計算します。もとの定積分を、\begin{equation*}
I=\int_{0}^{1}\left[ \frac{x}{1+x^{2}}+\frac{1-x}{1+\left( 1-x\right) ^{2}}\right] dx
\end{equation*}とおきます。被積分関数は、\begin{equation*}
f\left( x\right) +f\left( 1-x\right)
\end{equation*}の形をしているため、\begin{eqnarray*}
I &=&2\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^{2}}dx \\
&=&2\left[ \frac{\ln \left( 1+x^{2}\right) }{2}\right] _{0}^{1} \\
&=&2\left[ \frac{\ln \left( 2\right) }{2}-\frac{\ln \left( 1\right) }{2}\right] \\
&=&\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を求めてください。
\int_{0}^{1}\left[ \frac{\ln \left( 1+x\right) }{1+x}+\frac{\ln \left(
2-x\right) }{2-x}\right] dx
\end{equation*}を求めてください。
\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin \left( x\right) }{\sin \left( x\right)
+\cos \left( x\right) }dx
\end{equation*}を求めてください。
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