定積分の逆数対称性
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であるものとします。つまり、定積分\begin{equation}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まるということです。この場合、関数\(\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) \)もまた\(\left[a,b\right] \)上においてリーマン積分可能であることが保証されるとともに、その定積分の値が\(\left( 1\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=\int_{a}^{b}\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) dx
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立ちます。
先の命題はどのような意味において有用なのでしょうか。関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がリーマン積分可能である状況において、定積分を、\begin{equation*}I=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}とおくと、先の命題より、\begin{equation*}
I=\int_{a}^{b}\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) dx
\end{equation*}もまた成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
2I &=&\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx+\int_{a}^{b}\frac{ab}{x^{2}}f\left(
\frac{ab}{x}\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) \right] dx
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left(
\frac{ab}{x}\right) \right] dx
\end{equation*}を得ます。つまり、もとの関数\(f\left( x\right) \)の定積分を求めることが困難である一方で、関数\(f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) \)の定積分を求めることが容易である場合には、定積分\begin{equation*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算するかわりに、定積分\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left(
\frac{ab}{x}\right) \right] dx
\end{equation*}を計算してもよいということです。では、どのような状況において関数\(f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) \)がシンプルになるのでしょうか。後ほどパターンを示します。
広義積分の逆数対称性
無限閉区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\([0,+\infty )\)上において広義積分可能であるものとします。つまり、広義積分\begin{equation}\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx \quad \cdots (1)
\end{equation}が有限な実数として定まるということです。この場合、\(k>0\)を満たす定数\(k\in \mathbb{R} \)に関する関数\(\frac{k}{x^{2}}f\left( \frac{k}{x}\right) \)もまた\([0,+\infty )\)上において広義積分可能であることが保証されるとともに、その広義積分の値が\(\left( 1\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx=\int_{0}^{+\infty }\frac{k}{x^{2}}f\left( \frac{k}{x}\right) dx
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立ちます。
先の命題はどのような意味において有用なのでしょうか。関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)が広義積分可能である状況において、広義積分を、\begin{equation*}I=\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{equation*}とおくと、先の命題より、\begin{equation*}
I=\int_{0}^{+\infty }\frac{k}{x^{2}}f\left( \frac{k}{x}\right) dx
\end{equation*}もまた成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
2I &=&\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx+\int_{0}^{+\infty }\frac{k}{x^{2}}f\left( \frac{k}{x}\right) dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\left[ f\left( x\right) +\frac{k}{x^{2}}f\left( \frac{k}{x}\right) \right] dx
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
I=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty }\left[ f\left( x\right) +\frac{k}{x^{2}}f\left( \frac{k}{x}\right) \right] dx
\end{equation*}を得ます。つまり、もとの関数\(f\left( x\right) \)の広義積分を求めることが困難である一方で、関数\(f\left( x\right) +\frac{k}{x^{2}}f\left( \frac{k}{x}\right) \)の広義積分を求めることが容易である場合には、広義積分\begin{equation*}\int_{0}^{+\infty }f\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算するかわりに、広義積分\begin{equation*}
\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty }\left[ f\left( x\right) +\frac{k}{x^{2}}f\left( \frac{k}{x}\right) \right] dx
\end{equation*}を計算してもよいということです。では、どのような状況において関数\(f\left( x\right) +\frac{k}{x^{2}}f\left( k\right) \)がシンプルになるのでしょうか。後ほどパターンを示します。
2つの関数の和が定数になる場合
積分範囲が\(\left[ a,b\right] \)である状況を想定します。2つの関数\(f\left( x\right) ,\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) \)の和が定数になる場合には、すなわち、何らかの定数\(C\in \mathbb{R} \)が存在して、\begin{equation*}\forall x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left(
\frac{ab}{x}\right) =C
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数\(f\left( x\right) \)の定積分\begin{equation*}I=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算する代わりに、関数\(f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) \)の定積分を計算して、\begin{eqnarray*}I &=&\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left(
\frac{ab}{x}\right) \right] dx \\
&=&\frac{1}{2}\int_{a}^{b}Cdx
\end{eqnarray*}を計算する方が簡単です。
積分範囲が\([0,+\infty )\)である場合にも同様です。
\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln \left( x\right) }{1+x^{2}}dx
\end{equation*}
を計算します。もとの広義積分を、\begin{equation*}
I=\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln \left( x\right) }{1+x^{2}}dx
\end{equation*}とおきます。このまま計算するのは面倒であるため、\begin{equation*}
x\rightarrow \frac{1}{x}
\end{equation*}と変数を変換します。この場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}
I &=&\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{x^{2}}\frac{\ln \left( \frac{1}{x}\right) }{1+\left( \frac{1}{x}\right) ^{2}}dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{x^{2}}\frac{\ln \left( \frac{1}{x}\right) }{\frac{1+x^{2}}{x^{2}}}dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln \left( \frac{1}{x}\right) }{1+x^{2}}dx
\end{eqnarray*}です。両者を加えると、\begin{eqnarray*}
2I &=&\int_{0}^{+\infty }\left[ \frac{\ln \left( x\right) }{1+x^{2}}+\frac{\ln \left( \frac{1}{x}\right) }{1+x^{2}}\right] dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln \left( x\right) +\ln \left( \frac{1}{x}\right) }{1+x^{2}}dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln \left( x\right) -\ln \left( x\right) }{1+x^{2}}dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }0dx \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
I=0
\end{equation*}となります。
2つの関数の和が低次元になる場合
積分範囲が\(\left[ a,b\right] \)である状況を想定します。2つの関数\(f\left( x\right) ,\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) \)の和をとることによりもとの関数\(f\left( x\right) \)よりも次元が小さくなる場合には、もとの関数\(f\left( x\right) \)の定積分\begin{equation*}I=\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx
\end{equation*}を計算する代わりに、関数\(f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left( \frac{ab}{x}\right) \)の定積分を計算して、\begin{equation*}I=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left[ f\left( x\right) +\frac{ab}{x^{2}}f\left(
\frac{ab}{x}\right) \right] dx
\end{equation*}を得る方が簡単です。
積分範囲が\([0,+\infty )\)である場合にも同様です。
\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) \left( 1+x^{\pi }\right) }dx
\end{equation*}を計算します。もとの広義積分を、\begin{equation*}
I=\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) \left( 1+x^{\pi }\right)
}dx
\end{equation*}とおきます。このまま計算するのは面倒であるため、\begin{equation*}
x\rightarrow \frac{1}{x}
\end{equation*}と変数を変換します。この場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}
I &=&\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{x^{2}}\frac{1}{\left[ 1+\left( \frac{1}{x}\right) ^{2}\right] \left[ 1+\left( \frac{1}{x}\right) ^{\pi }\right] }dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{x^{2}}\frac{1}{\frac{1+x^{2}}{x^{2}}\frac{1+x^{\pi }}{x^{\pi }}}dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{\pi }}{\left( 1+x^{2}\right) \left( 1+x^{\pi
}\right) }dx
\end{eqnarray*}です。両者を加えると、\begin{eqnarray*}
2I &=&\int_{0}^{+\infty }\left[ \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) \left(
1+x^{\pi }\right) }+\frac{x^{\pi }}{\left( 1+x^{2}\right) \left( 1+x^{\pi
}\right) }\right] dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\frac{1+x^{\pi }}{\left( 1+x^{2}\right) \left(
1+x^{\pi }\right) }dx \\
&=&\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{1+x^{2}}dx
\end{eqnarray*}となるため、被積分関数の分母の次数が下がりました。さらに計算すると、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{1+x^{2}}dx &=&\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{1+x^{2}}dx \\
&=&\left[ \arctan \left( x\right) \right] _{0}^{+\infty } \\
&=&\frac{\pi }{2}-0 \\
&=&\frac{\pi }{2}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
2I=\frac{\pi }{2}
\end{equation*}であり、ゆえに、\begin{equation*}
I=\frac{\pi }{4}
\end{equation*}となります。
演習問題
\int_{0}^{+\infty }\frac{\ln \left( x\right) }{x^{2}+4}dx
\end{equation*}を求めてください。
\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x\left( x^{3}+1\right) }dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を求めてください。
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