実数ベキ関数の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(p\not=0\)かつ\(p\not=-1\)を満たす実数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。ただし、定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\frac{1}{p+1}\cdot x^{p+1}+C
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(p\not=0\)かつ\(p\not=-1\)を満たす実数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{p+1}\cdot x^{p+1}+C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めます。\(f\)は区間\(\mathbb{R} _{++}\)上に定義された実数ベキ関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{\sqrt{2}+1}x^{\sqrt{2}+1}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\pi -2}-1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( x^{-2\pi }-1\right) dx \\
&=&\int x^{-2\pi }dx-\int 1dx \\
&=&\frac{1}{\pi -1}x^{\pi -1}-x+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\sqrt{3}}+x^{-\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の不定積分は、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left( x^{\sqrt{3}}+x^{-\sqrt{2}}\right) dx
\\
&=&\int x^{\sqrt{3}}dx-\int x^{-\sqrt{2}}dx \\
&=&\frac{1}{\sqrt{3}+1}x^{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{1-\sqrt{2}}x^{1-\sqrt{2}}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\left( x+1\right) ^{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left( -1,+\infty \right) \)上で連続であるため不定積分を持ちます。そこで、\begin{equation}u=x+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u-1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\left( -1,+\infty \right) \)とすれば値域は\(\left( -1,+\infty \right) \)であり、これは\(f\)の定義域と一致します。加えて、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。加えて、\(g\)は\(\left( -1,+\infty \right) \)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =x+1 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int x\left( x+1\right) ^{\pi }dx \\
&=&\int \left( u-1\right) u^{\pi }g^{\prime }\left( u\right) du\quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \left( u-1\right) u^{\pi }du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int \left( u^{1+\pi }-u^{\pi }\right) du \\
&=&\int u^{1+\pi }du-\int u^{\pi }du \\
&=&\frac{1}{2+\pi }u^{2+\pi }-\frac{1}{\pi +1}u^{\pi +1}+C \\
&=&\frac{1}{2+\pi }\left( x+1\right) ^{2+\pi }-\frac{1}{\pi +1}\left(
x+1\right) ^{\pi +1}+C\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

関数\(f:\left( 1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\left( x-1\right) ^{\frac{\sqrt{2}}{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間\(\left( 1,+\infty \right) \)上で連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=x-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\)に関する関数\begin{equation}x=g\left( u\right) =u+1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(g\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}\)とすれば、その値域は\(f\)の定義域\(\left( 1,+\infty \right) \)と一致するとともに、\(g\)は多項式関数であるため\(C^{1}\)級です。また、\(g\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で狭義単調増加であるため単射であり、逆関数\begin{equation}u=g^{-1}\left( x\right) =x-1 \quad \cdots (3)
\end{equation}が存在します。したがって、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{x}{\left( x-1\right) ^{\frac{\sqrt{2}}{2}}}dx \\
&=&\int \frac{u+1}{u^{\frac{\sqrt{2}}{2}}}g^{\prime }\left( u\right)
dx\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \frac{u+1}{u^{\frac{\sqrt{2}}{2}}}dx \\
&=&\int \left( u^{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}+u^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right) dx \\
&=&\frac{1}{2-\frac{\sqrt{2}}{2}}u^{2-\frac{\sqrt{2}}{2}}+\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}u^{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}+C \\
&=&\frac{1}{2-\frac{\sqrt{2}}{2}}\left( x-1\right) ^{2-\frac{\sqrt{2}}{2}}+\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\left( x-1\right) ^{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}+C\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in I\)に対して定める値が、\(p\not=0\)かつ\(p\not=-1\)を満たす実数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{p}
\end{equation*}と表されるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{p+1}\cdot x^{p+1}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b^{p+1}-a^{p+1}}{p+1}
\end{eqnarray*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定めます。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{\sqrt{2}+1}x^{\sqrt{2}+1}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{\sqrt{2}+1}x^{\sqrt{2}+1}\right] _{1}^{2} \\
&=&\frac{2^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1}-\frac{1^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1} \\
&=&\frac{2^{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2}+1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\left( x+1\right) ^{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=\frac{1}{2+\pi }\left( x+1\right) ^{2+\pi }-\frac{1}{\pi +1}\left( x+1\right) ^{\pi +1}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{1}^{2}f\left( x\right) dx &=&\left[ \frac{1}{2+\pi }\left( x+1\right)
^{2+\pi }-\frac{1}{\pi +1}\left( x+1\right) ^{\pi +1}\right] _{1}^{2} \\
&=&\left( \frac{3^{\pi +2}}{2+\pi }-\frac{3^{\pi +2}}{\pi +2}\right) -\left(
\frac{2^{\pi +2}}{\pi +2}-\frac{2^{\pi +1}}{\pi +1}\right) \\
&=&\frac{3^{\pi +2}}{2+\pi }-\frac{3^{\pi +2}}{\pi +2}-\frac{2^{\pi +2}}{\pi
+2}+\frac{2^{\pi +1}}{\pi +1}
\end{eqnarray*}となります。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。

ある学習者が新しい技能を習得しようとしています。学習時間が\(t>0\)であるときの知識量を、\begin{equation*}K\left( t\right)
\end{equation*}で表記します。学習の進行とともに学習速度が徐々に低下する状況が、\begin{equation*}
K^{\prime }\left( t\right) =t^{-\sqrt{2}}
\end{equation*}として表現されています。\(0<a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を選んだ場合、学習時間が\(a\)から\(b\)まで増えた場合に獲得する知識量は、\begin{equation*}K\left( b\right) -K\left( a\right)
\end{equation*}ですが、これを純変化量定理から求めると、\begin{eqnarray*}
K\left( b\right) -K\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}\frac{dK^{\prime }\left(
t\right) }{dt}dt\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{a}^{b}t^{-\sqrt{2}}dt \\
&=&\left[ \frac{1}{1-\sqrt{2}}t^{1-\sqrt{2}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\frac{b^{1-\sqrt{2}}}{1-\sqrt{2}}-\frac{a^{1-\sqrt{2}}}{1-\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}を得ます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{\sqrt{2}}}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\sqrt{2}}\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\sqrt{2}-1}\left( 1+x^{\sqrt{2}}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。