正接関数の原始関数
区間上に定義された正接関数\(f:\mathbb{R} \supset X\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、\(f\)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。問題としている区間\(I\)は\(f\)の定義域\(X\)の部分集合であることに注意してください。つまり、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{Z} :I\subset \left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)
\end{equation*}が成り立つということです。
正接関数は連続であるため原始関数が存在します。具体的には以下の通りです。
命題（正接関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{Z} :I\subset \left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)
\end{equation*}である。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right) \right\vert
\right) +C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{Z} :I\subset \left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)
\end{equation*}である。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right) \right\vert
\right) +C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
正接関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である正接関数について以下が成り立ちます。
命題（正接関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{Z} :I\subset \left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)
\end{equation*}である。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right)
\right\vert \right) +C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{Z} :I\subset \left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)
\end{equation*}である。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right)
\right\vert \right) +C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（正接関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間上に定義された正接関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right)
\right\vert \right) +C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間上に定義された正接関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right)
\right\vert \right) +C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（正接関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1+2\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left[ 1+2\tan \left( x\right) \right] dx \\
&=&\int 1dx+2\int \tan \left( x\right) dx \\
&=&x-2\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right) \right\vert \right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left[ 1+2\tan \left( x\right) \right] dx \\
&=&\int 1dx+2\int \tan \left( x\right) dx \\
&=&x-2\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right) \right\vert \right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（正接関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan ^{2}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \tan ^{2}\left( x\right) dx \\
&=&\int \frac{\sin ^{2}\left( x\right) }{\cos ^{2}\left( x\right) }dx \\
&=&\int \frac{1-\cos ^{2}\left( x\right) }{\cos ^{2}\left( x\right) }dx \\
&=&\int \left[ \frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }-1\right] dx \\
&=&\int \frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }dx-\int 1dx \\
&=&\tan \left( x\right) -x+C\quad \because \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) =\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \tan ^{2}\left( x\right) dx \\
&=&\int \frac{\sin ^{2}\left( x\right) }{\cos ^{2}\left( x\right) }dx \\
&=&\int \frac{1-\cos ^{2}\left( x\right) }{\cos ^{2}\left( x\right) }dx \\
&=&\int \left[ \frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }-1\right] dx \\
&=&\int \frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }dx-\int 1dx \\
&=&\tan \left( x\right) -x+C\quad \because \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) =\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（正接関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right) \cdot \sec ^{2}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
\sec \left( x\right) =\frac{1}{\cos \left( x\right) }
\end{equation*}です。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation*}u=g\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arctan \left( u\right)
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \left[ \tan \left( x\right) \cdot \sec
^{2}\left( x\right) \right] dx \\
&=&\int \left\{ \tan \left( x\right) \cdot \left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] \right\} dx\quad \because \sec ^{2}\left( x\right) =1+\tan
^{2}\left( x\right) \\
&=&\int \left[ u\left( 1+u^{2}\right) \frac{d}{du}g^{-1}\left( u\right) \right] dx\quad \because \text{置換積分} \\
&=&\int \left[ u\left( 1+u^{2}\right) \frac{1}{1+u^{2}}\right] dx \\
&=&\int udx \\
&=&\frac{u^{2}}{2}+C \\
&=&\frac{\tan ^{2}\left( x\right) }{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
\sec \left( x\right) =\frac{1}{\cos \left( x\right) }
\end{equation*}です。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation*}u=g\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}とおくと、その逆関数は、\begin{equation*}
x=g^{-1}\left( u\right) =\arctan \left( u\right)
\end{equation*}であるため、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \left[ \tan \left( x\right) \cdot \sec
^{2}\left( x\right) \right] dx \\
&=&\int \left\{ \tan \left( x\right) \cdot \left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] \right\} dx\quad \because \sec ^{2}\left( x\right) =1+\tan
^{2}\left( x\right) \\
&=&\int \left[ u\left( 1+u^{2}\right) \frac{d}{du}g^{-1}\left( u\right) \right] dx\quad \because \text{置換積分} \\
&=&\int \left[ u\left( 1+u^{2}\right) \frac{1}{1+u^{2}}\right] dx \\
&=&\int udx \\
&=&\frac{u^{2}}{2}+C \\
&=&\frac{\tan ^{2}\left( x\right) }{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
正接関数の定積分
正接関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより正接関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。
命題（正接関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{Z} :I\subset \left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)
\end{equation*}である。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\ln \left( \left\vert \cos \left(
x\right) \right\vert \right) \right] _{a}^{b} \\
&=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( b\right) \right\vert \right) +\ln
\left( \left\vert \cos \left( a\right) \right\vert \right)
\end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{Z} :I\subset \left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)
\end{equation*}である。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\ln \left( \left\vert \cos \left(
x\right) \right\vert \right) \right] _{a}^{b} \\
&=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( b\right) \right\vert \right) +\ln
\left( \left\vert \cos \left( a\right) \right\vert \right)
\end{eqnarray*}となる。
例（正接関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right)
\right\vert \right) +C
\end{equation*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\ln \left(
\left\vert \cos \left( x\right) \right\vert \right) \right] _{0}^{\frac{\pi
}{4}} \\
&=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( \frac{\pi }{4}\right) \right\vert
\right) +\ln \left( \left\vert \cos \left( 0\right) \right\vert \right) \\
&=&-\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) +\ln \left( 1\right) \\
&=&-\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\ln
\left( \left\vert \cos \left( x\right) \right\vert \right) \right] _{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} \\
&=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( \frac{\pi }{4}\right) \right\vert
\right) +\ln \left( \left\vert \cos \left( -\frac{\pi }{4}\right)
\right\vert \right) \\
&=&-\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) +\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-\frac{\pi }{4}}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\ln \left(
\left\vert \cos \left( x\right) \right\vert \right) \right] _{-\frac{\pi }{4}}^{0} \\
&=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( 0\right) \right\vert \right) +\ln
\left( \left\vert \cos \left( -\frac{\pi }{4}\right) \right\vert \right) \\
&=&-\ln \left( 1\right) +\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=&\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=-\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right)
\right\vert \right) +C
\end{equation*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\ln \left(
\left\vert \cos \left( x\right) \right\vert \right) \right] _{0}^{\frac{\pi
}{4}} \\
&=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( \frac{\pi }{4}\right) \right\vert
\right) +\ln \left( \left\vert \cos \left( 0\right) \right\vert \right) \\
&=&-\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) +\ln \left( 1\right) \\
&=&-\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\ln
\left( \left\vert \cos \left( x\right) \right\vert \right) \right] _{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} \\
&=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( \frac{\pi }{4}\right) \right\vert
\right) +\ln \left( \left\vert \cos \left( -\frac{\pi }{4}\right)
\right\vert \right) \\
&=&-\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) +\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\int_{-\frac{\pi }{4}}^{0}f\left( x\right) dx &=&\left[ -\ln \left(
\left\vert \cos \left( x\right) \right\vert \right) \right] _{-\frac{\pi }{4}}^{0} \\
&=&-\ln \left( \left\vert \cos \left( 0\right) \right\vert \right) +\ln
\left( \left\vert \cos \left( -\frac{\pi }{4}\right) \right\vert \right) \\
&=&-\ln \left( 1\right) +\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
&=&\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{eqnarray*}です。
正接関数の広義積分
区間が正接関数の定義域の部分集合ではない場合、広義積分を用いて対処します。以下が具体例です。
例（正接関数の広義積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \cup \left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \cup \left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(x=\frac{\pi }{2}\)において定義されていないため、例えば、以下の区間\begin{equation*}\left[ -\frac{\pi }{4},\pi \right] \end{equation*}上において通常の意味で積分できないため、広義積分で対応する必要があります。具体的には、\begin{eqnarray*}
\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\pi }f\left( x\right) dx &=&\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}-}\int_{-\frac{\pi }{4}}^{a}\tan \left( x\right)
dx+\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}+}\int_{a}^{\pi }\tan \left( x\right) dx
\\
&=&\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}-}\left[ -\ln \left( \left\vert \cos
\left( x\right) \right\vert \right) \right] _{-\frac{\pi }{4}}^{a}+\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}+}\left[ -\ln \left( \left\vert \cos
\left( x\right) \right\vert \right) \right] _{a}^{\pi } \\
&=&\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}-}\left[ -\ln \left( \left\vert \cos
\left( a\right) \right\vert \right) +\ln \left( \left\vert \cos \left( -\frac{\pi }{4}\right) \right\vert \right) \right] +\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}+}\left[ -\ln \left( \left\vert \cos \left( \pi \right) \right\vert
\right) +\ln \left( \left\vert \cos \left( a\right) \right\vert \right) \right] \\
&=&\left[ +\infty +\ln \left( \left\vert \cos \left( -\frac{\pi }{4}\right)
\right\vert \right) \right] +\left[ -\ln \left( \left\vert \cos \left( \pi
\right) \right\vert \right) -\infty \right] \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは不定形であるため、これは発散します。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(x=\frac{\pi }{2}\)において定義されていないため、例えば、以下の区間\begin{equation*}\left[ -\frac{\pi }{4},\pi \right] \end{equation*}上において通常の意味で積分できないため、広義積分で対応する必要があります。具体的には、\begin{eqnarray*}
\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\pi }f\left( x\right) dx &=&\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}-}\int_{-\frac{\pi }{4}}^{a}\tan \left( x\right)
dx+\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}+}\int_{a}^{\pi }\tan \left( x\right) dx
\\
&=&\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}-}\left[ -\ln \left( \left\vert \cos
\left( x\right) \right\vert \right) \right] _{-\frac{\pi }{4}}^{a}+\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}+}\left[ -\ln \left( \left\vert \cos
\left( x\right) \right\vert \right) \right] _{a}^{\pi } \\
&=&\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}-}\left[ -\ln \left( \left\vert \cos
\left( a\right) \right\vert \right) +\ln \left( \left\vert \cos \left( -\frac{\pi }{4}\right) \right\vert \right) \right] +\lim_{a\rightarrow \frac{\pi }{2}+}\left[ -\ln \left( \left\vert \cos \left( \pi \right) \right\vert
\right) +\ln \left( \left\vert \cos \left( a\right) \right\vert \right) \right] \\
&=&\left[ +\infty +\ln \left( \left\vert \cos \left( -\frac{\pi }{4}\right)
\right\vert \right) \right] +\left[ -\ln \left( \left\vert \cos \left( \pi
\right) \right\vert \right) -\infty \right] \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}となりますが、これは不定形であるため、これは発散します。
正接関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
関数\(f\)が正接関数である場合、導関数\(\frac{df}{dx}\)もまた正接関数になりますが、正接関数は連続であるためリーマン積分可能であり、したがって純変化定理を利用できます。つまり、瞬間変化率\(\frac{df}{dx}\)が正接関数であるような状況においては、もとの正接関数\(f\)の変化量\(f\left( b\right)-f\left( a\right) \)は、正接関数の定積分と一致するということです。
例（正接関数と純変化量定理）
時点\(t\geq 0\)における水槽の水面の高さが、\begin{equation*}h\left( t\right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right) \)における水の流入速度が、\begin{equation*}v(t)=\tan \left( t\right)
\end{equation*}であるものとします。水槽の断面積を\(A>0\)で表記する場合には、\begin{equation*}h^{\prime }\left( t\right) =\frac{v\left( t\right) }{A}=\frac{\tan \left(
t\right) }{A}
\end{equation*}が成り立ちます。\(0\leq a<b<\frac{\pi }{2}\)を満たす時点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、時点\(a\)から時点\(b\)までの水面の高さの変化量は、\begin{eqnarray*}h\left( b\right) -h\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}h^{\prime }\left(
t\right) dt\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{a}^{b}\frac{\tan \left( t\right) }{A}dt \\
&=&\left[ -\frac{\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right) \right\vert
\right) }{A}\right] _{a}^{b} \\
&=&-\frac{\ln \left( \left\vert \cos \left( b\right) \right\vert \right) }{A}+\frac{\ln \left( \left\vert \cos \left( a\right) \right\vert \right) }{A}
\end{eqnarray*}として定まります。例えば、\begin{eqnarray*}
A &=&2 \\
a &=&0 \\
b &=&\frac{\pi }{4}
\end{eqnarray*}である場合、\begin{eqnarray*}
h\left( \frac{\pi }{4}\right) -h\left( 0\right) &=&-\frac{\ln \left(
\left\vert \cos \left( \frac{\pi }{4}\right) \right\vert \right) }{2}+\frac{\ln \left( \left\vert \cos \left( 0\right) \right\vert \right) }{2} \\
&=&-\frac{\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) }{2} \\
&\approx &0.173
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right) \)における水の流入速度が、\begin{equation*}v(t)=\tan \left( t\right)
\end{equation*}であるものとします。水槽の断面積を\(A>0\)で表記する場合には、\begin{equation*}h^{\prime }\left( t\right) =\frac{v\left( t\right) }{A}=\frac{\tan \left(
t\right) }{A}
\end{equation*}が成り立ちます。\(0\leq a<b<\frac{\pi }{2}\)を満たす時点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、時点\(a\)から時点\(b\)までの水面の高さの変化量は、\begin{eqnarray*}h\left( b\right) -h\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}h^{\prime }\left(
t\right) dt\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{a}^{b}\frac{\tan \left( t\right) }{A}dt \\
&=&\left[ -\frac{\ln \left( \left\vert \cos \left( x\right) \right\vert
\right) }{A}\right] _{a}^{b} \\
&=&-\frac{\ln \left( \left\vert \cos \left( b\right) \right\vert \right) }{A}+\frac{\ln \left( \left\vert \cos \left( a\right) \right\vert \right) }{A}
\end{eqnarray*}として定まります。例えば、\begin{eqnarray*}
A &=&2 \\
a &=&0 \\
b &=&\frac{\pi }{4}
\end{eqnarray*}である場合、\begin{eqnarray*}
h\left( \frac{\pi }{4}\right) -h\left( 0\right) &=&-\frac{\ln \left(
\left\vert \cos \left( \frac{\pi }{4}\right) \right\vert \right) }{2}+\frac{\ln \left( \left\vert \cos \left( 0\right) \right\vert \right) }{2} \\
&=&-\frac{\ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right) }{2} \\
&\approx &0.173
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（正接関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\tan \left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（正接関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\sqrt{\frac{\pi }{2}},\sqrt{\frac{\pi }{2}}\right)\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\sqrt{\frac{\pi }{2}},\sqrt{\frac{\pi }{2}}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\tan \left( x^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（正接関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\tan \left( 3x\right) }{\cos \left( 3x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
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