逆正接関数（arctan関数）の原始関数・不定積分・定積分

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =x\arctan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln \left(
1+x^{2}\right) +C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分が存在し、それは、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x\arctan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln \left(
1+x^{2}\right) +C
\end{equation*}となる。ただし、\(C\)は積分定数である。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間上に定義された逆正接関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x\arctan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln \left(
1+x^{2}\right) +C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1+2\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \left[ 1+2\arctan \left( x\right) \right] dx
\\
&=&\int 1dx+2\int \arctan \left( x\right) dx \\
&=&x+2\left[ x\arctan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln \left( 1+x^{2}\right) \right] +C \\
&=&x+2x\arctan \left( x\right) -\ln \left( 1+x^{2}\right) +C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\arctan \left( x\right) }{1+x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数であるため不定積分が存在します。そこで、変数\(x\in \mathbb{R} \)に関する関数\(g\)を、\begin{equation*}u=g\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}とおくと、変数\(u\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に関する逆関数\(g^{-1}\)が、\begin{equation*}x=g^{-1}\left( u\right) =\tan \left( u\right)
\end{equation*}と定まるため、\begin{eqnarray*}
\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{\arctan \left( x\right) }{1+x^{2}}dx
\\
&=&\int \frac{u}{1+\tan ^{2}\left( u\right) }\frac{dg^{-1}\left( u\right) }{du}du\quad \because \text{置換積分} \\
&=&\int u\cos ^{2}\left( u\right) \frac{1}{\cos ^{2}\left( u\right) }du\quad
\because 1+\tan ^{2}\left( u\right) =\frac{1}{\cos ^{2}\left( u\right) } \\
&=&\int udu \\
&=&\frac{1}{2}u^{2}+C \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \arctan \left( x\right) \right] ^{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。

区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\arctan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln \left( 1+x^{2}\right) \right] _{a}^{b} \\
&=&\left[ b\arctan \left( b\right) -\frac{1}{2}\ln \left( 1+b^{2}\right) \right] -\left[ a\arctan \left( a\right) -\frac{1}{2}\ln \left(
1+a^{2}\right) \right] \end{eqnarray*}となる。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=x\arctan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln \left(
1+x^{2}\right) +C
\end{equation*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{1}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\arctan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln \left( 1+x^{2}\right) \right] _{0}^{1} \\
&=&\arctan \left( 1\right) -\frac{1}{2}\ln \left( 2\right) +\frac{1}{2}\ln
\left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2}\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。

時点\(t\geq 0\)における装置への物質の総流入量が、\begin{equation*}F\left( t\right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t\geq 0\)における物質の流入速度が、\begin{equation*}v\left( t\right) =\arctan \left( t\right)
\end{equation*}であるものとします。時点\(t=0\)から時点\(t=1\)までの総流入量は、\begin{eqnarray*}F\left( 1\right) -F\left( 0\right) &=&\int_{0}^{1}F^{\prime }\left(
t\right) dt\quad \because \text{純変化量定理} \\
&=&\int_{0}^{1}v\left( t\right) dt \\
&=&\int_{0}^{1}\arctan \left( t\right) dt \\
&=&\left[ x\arctan \left( x\right) -\frac{1}{2}\ln \left( 1+x^{2}\right) \right] _{0}^{1} \\
&=&\arctan \left( 1\right) -\frac{1}{2}\ln \left( 2\right) -0 \\
&=&\frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2}\ln \left( 2\right)
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\arctan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a>0\)を満たす定数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arctan \left( ax\right)
\end{equation*}と表されるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。