分離
ユークリッド空間における連結集合・非連結集合
ユークリッド空間の部分集合の切断が存在する場合、その集合を非連結集合と呼びます。また、非連結集合ではない集合を連結集合と呼びます。
分離
ユークリッド空間において分離している2つの集合
ユークリッド空間の2つの部分集合が互いに素であるとともに、どちらも相手の集積点を要素として持たない場合、それらの集合は分離していると言います。分離の概念は触点や開集合を用いて表現することもできます。
ユークリッド空間
カントールの縮小区間定理
ユークリッド空間におけるカントールの縮小区間定理
ユークリッド空間上の区間列についてもカントールの縮小区間定理が成り立ちます。つまり、入れ子構造の閉区間列の共通部分は1点集合です。
区間
ユークリッド空間における区間列の定義と具体例
ユークリッド空間上における区間は、数直線上に存在する有限個の区間の直積集合として定義されます。また、区間を順番に並べたものを区間列と呼びます。
イェンゼンの不等式
ヘルダーの不等式（凸関数と不等式）
凸関数に関するイェンゼンの不等式から算術平均と幾何平均の間に成立する不等式が導かれ、さらにそこからヘルダーの不等式が導かれ、さらにそこからコーシー・シュワルツの不等式や三角不等式が導かれます。
イェンゼンの不等式
イェンゼンの不等式を用いた多変数の狭義凸関数・狭義凹関数の特徴づけ
凸集合上に定義された多変数関数が狭義凸関数であることと、その関数が狭義のイェンゼンの不等式を満たすことは必要十分です。
イェンゼンの不等式
イェンゼンの不等式
イェンゼンの不等式を用いた1変数の狭義凸関数・狭義凹関数の特徴づけ
区間上に定義された1変数関数が狭義凸関数であることと、その関数が狭義のイェンゼンの不等式を満たすことは必要十分です。
イェンゼンの不等式
凸関数・凹関数
拡大実数値をとる多変数の狭義凸関数・狭義凹関数
多変数の拡大実数値関数が狭義凸関数や狭義凹関数であることの意味を定義するとともに、それらと実数値をとる狭義凸関数および狭義凹関数との関係を整理します。
凸関数・凹関数
エピグラフ
エピグラフ
拡大実数値をとる1変数の狭義凸関数・狭義凹関数
拡大実数値関数が狭義凸関数や狭義凹関数であることの意味を定義するとともに、それらと実数値をとる狭義凸関数および狭義凹関数との関係を整理します。
凸関数・凹関数
多変数関数の局所最適解
多変数関数の値を最大化するような点が定義域上に存在しない場合でも、変数がとり得る値を限定することにより、その範囲内において多変数関数の値を最大化するような点が存在する状況は起こり得ます。そのような点を極大点や局所的最大点と呼びます。また、多変数関数が極大点に対して定める値を極大値や大域的最大値と呼びます。最小化についても同様です。
多変数関数の大域的最適解
多変数関数の値を最大化するような点が定義域上に存在する場合、そのような点を最大点や大域的最大点と呼びます。また、多変数関数が最大点に対して定める値を最大値や大域的最大値と呼びます。
2次形式
トレース
正方行列の固有値と主座小行列式の関係
正方行列の首座小行列および主座小行列式という概念を定義するとともに、正方行列の固有値と主座小行列式の値の間に成立する関係について解説します。
2次形式
2次形式
2次形式の定義と具体例
入力されたベクトルに対して実数を出力する多変数関数による像が2つの変数の積に定数をかけた上で加えることにより得られる形の式である場合、このような多変数関数を2次形式と呼びます。
双線型形式
双線型形式の定義と具体例
入力された2つのベクトルに対して1つの実数を出力する多変数関数がそれぞれのベクトルに関して線形写像である場合、このような多変数関数を双線型形式と呼びます。
スペクトラル分解
